第四章 曲線積分 曲面積分

曲線積分（第一類曲線積分）

物理意義：求密度不均勻的弧的質(zhì)量

判斷是幾重積分，是看有幾個積分符號的

例一：

如圖為一元積分

關(guān)鍵：需要把不會算的ds換成能算的dx

例二：

這里沒有ds，不用對弧長積分了，所以只需把dy換成dx即可

記得確定上下限

↑關(guān)于ds為什么換成根號下（1+y’2）

第一類曲線積分不帶方向的原因：

第一類曲線積分：

1.對x積分 把dy（或ds）換成dx

2.對y積分 把dx（或ds）換成dy

3.對t積分 把dx和dy換成dt

曲線積分（第二類曲線積分）

物理意義：求力沿某一弧長運動的做功（所以帶方向）

其他與第一類曲線積分一樣

格林公式

格林公式如圖↑

粉色圈圈所做的功之和與外面百環(huán)的做功相等

所以：一個閉環(huán)的做功等于把這個閉環(huán)劃分為無數(shù)個小環(huán)做功之和

如下面這個網(wǎng)格↓

這里（天意學(xué)長手指的位置）的意思應(yīng)該是f（y）也就是y方向上的力隨著dx增加或者減少，也就是兩個力相減

格林公式作用：

格林公式可以驗證某一曲線積分與路徑無關(guān)（要求：格林公式的被積函數(shù)等于0）

曲面積分（第一類曲面積分）

例題：

把所求面投影到xoy平面上

然后通過投影面（閉環(huán)）找到x和y的上下限

最后把ds改成關(guān)于dxdy的樣子，記得把被積函數(shù)中z的部分替換成關(guān)于x和y的式子

（ds與dxdy的關(guān)系↑）

曲面積分（第二類曲面積分）

（物理意義：流體通過某一曲面的流量）

怎么判斷是第一類還是第二類

式子很直白的給你dx，dy，dz的就是

第一類曲面積分給的是ds

根據(jù)三視圖分別處理dxdy，dxdz，dydz

注意替換變量時的正負(fù)號

二重積分的區(qū)間是一個封閉區(qū)域，所以沒有圍成一個封閉圖形的二重積分為零