別讓因式分解成為“鞋里的沙子”（2020課標Ⅰ導數）

2022-10-15 13:18 作者:數學老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2020課標Ⅰ，21）已知函數 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2Bax%5E2-x$ .

（1）當 $a%3D1$ 時，討論 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的單調性；

（2）當 $x%5Cgeqslant%200$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%2B1$ ，求 $a$ 的取值范圍.

解：（1）當 $a%3D1$ 時，

$f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2Bx%5E2-x$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2Bx-1$ ，

易知 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cnearrow%20%7D$ ，

且注意到 $f'%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B0%7D%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B0%7D$ ，所以

當 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C0%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ；

當 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$

（2） $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%2B1$

即 $%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%2Bax%5E2-x%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%2B1$ ，

當 $x%3D0$ 時，上式顯然成立；

當 $x%3E0$ 時，上式等價于

$a%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7Bx%5E2%7D$ .

令 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7Bx%5E2%7D$ ，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%7D%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cright)%20%5Ccdot%20x%5E2-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cright)%20%5Ccdot%202x%7D%7Bx%5E4%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3-x-2%2B%5Cleft(%202-x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7Bx%5E3%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%5Ccolor%7Bred%7D%7B-x%5E2%2Bx%5E2%7D-x-2%2B%5Cleft(%202-x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7Bx%5E3%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx-2%7D%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx-2%7D%20%5Cright)%2B%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B2-x%7D%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7Bx%5E3%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%202-x%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2-x-1%7D%20%5Cright)%7D%7Bx%5E3%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $h%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D$ ，則

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bh'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2B1%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B2x%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B-x%5E2%7D%7B2%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $h%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ，

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bh%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C%7Dh%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B1%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%3C1$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2-x-1%3E0%7D$ .

令 $g%E2%80%99%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $x%3D2$ ，

當 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C2%20%5Cright)%20%7D$ ， $g%E2%80%99%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cnearrow%20%7D$ ；

當 $x%5Cin%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cleft(%202%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ， $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$

故 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20_%7B%5Cmax%7D%7D%3Dg%5Cleft(%202%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D%7D$ ，

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba%5Cin%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ .

命題背景：

$%5Cbbox%5B%23def%2C5px%2Cborder%3A1px%20solid%5D%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cforall%20x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C0%20%5Cright)%7D%20%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%26%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C%7D1%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%3B%5C%5C%0A%09%5Cforall%20x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%7D%20%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%26%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E%7D1%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2.%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%7D$

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