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上節(jié)課收尾：

1.向量值函數(shù)。把f：D→R?看作向量，稱fi為分量函數(shù)。

①典型代表：線性映射。

②從范數(shù)不等式推得：

（?。┫蛄恐岛瘮?shù)收斂于l當且僅當fi收斂于l的分量。

（ⅱ）上節(jié)課已說明f在x?連續(xù)?f各分量都在x?連續(xù)。

本節(jié)主題：

拓撲學的一個基礎(chǔ)概念：連續(xù)映射。

1.連續(xù)映射的概念。

2.連續(xù)映射的4個等價命題。

①分別對應(yīng)4種拓撲公理。

②證明。1°和4°的等價性之前已證過，現(xiàn)在只需證明1°?2°?3°?1°

證明過程略。其中涉及到映射和集合論的兩個結(jié)論：

（?。┑忍杻蛇呁瑫r做f/f?1，等號變成?/?，當且僅當滿射/單射才維持等號。

（ⅱ）f?1(X\A)=f?1(X)\f?1(A)

f(X\A)?f(X)\f(A)（等號成立當且僅當f滿射）

3.常見的連續(xù)映射：

①常值映射。

②包含映射。X的一個子集映射到X的一個恒等映射。

③復(fù)合映射。

④限制映射。f｜?：A→Y可看作某包含映射（符號打不出）與f：X→Y的復(fù)合映射。

⑤限制陪域。特殊的復(fù)合映射。

⑥擴大陪域。依然可以看作某映射和某包含映射的復(fù)合映射。