一個跟電路有關的不等式

2023-03-11 17:20 作者:求導宗師的線性空間 0人讀過 | 我要投稿

大家好！

先來看這樣一個不等式：

$%5Ccolor%7Bblue%7D%7B(a%2Bb)(c%2Bd)(a%2Bc)(b%2Bd)%5Cgeq%20(abc%2Babd%2Bacd%2Bbcd)(a%2Bb%2Bc%2Bd)%7D$

其中? $a%2Cb%2Cc%2Cd%5Cin%20R%5E%7B%2B%7D$

（當然也可以是負的，只不過我們不討論）

這個不等式想證也挺容易，兩邊展開，一共有? $32$ 項，有? $28$ 項約掉，只要證：

$a%5E2d%5E2%2Bb%5E2c%5E2%5Cgeq%202abcd$

這就是一個均值不等式

取等條件為? $%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bd%7D$

我們再來看這樣一個電路：

你可以試著算出這個電路的總電阻

$R%3D%5Cfrac%7BR_%7B5%7D(R_%7B1%7D%2BR_%7B3%7D)(R_%7B2%7D%2BR_%7B4%7D)%2B(R_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B3%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B2%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D)%7D%7BR_%7B5%7D(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D%2BR_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D)%2B(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D)(R_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D)%7D$

這個式子可以看作是關于? $R_%7B5%7D$ ?的函數(shù)

形式如? $f(t)%3D%5Cfrac%7BAt%2BB%7D%7BCt%2BD%7D$

在電路中，任意一個電阻增大，則總電阻也會增大，于是? $f(t)$ 應為遞增函數(shù)

即 $%5Cfrac%7BA%7D%7BC%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7BB%7D%7BD%7D$ ，代入系數(shù)整理得：

$%5Cfrac%7B(R_%7B1%7D%2BR_%7B3%7D)(R_%7B2%7D%2BR_%7B4%7D)%7D%7BR_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D%2BR_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D%7D%20%5Cgeq%20%5Cfrac%7BR_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B3%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B2%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B1%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D%2BR_%7B2%7DR_%7B3%7DR_%7B4%7D%7D%7B(R_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D)(R_%7B3%7D%2BR_%7B4%7D)%7D$