之前我們討論的場(chǎng)都是自旋為零的場(chǎng)，也就是標(biāo)量場(chǎng)。今天我們學(xué)習(xí)自旋場(chǎng)?？紤]自旋為1/2的Fermion場(chǎng)。它滿足的Lagrangian密度為：

其中場(chǎng)加一杠表示Dirac伴隨矩陣，gamma表示Dirac度規(guī)它滿足反對(duì)易關(guān)系。

根據(jù)最小作用量原理得到Dirac方程：

其中m表示粒子的質(zhì)量。注意場(chǎng)指標(biāo)的簡(jiǎn)寫(xiě)。

這個(gè)場(chǎng)方程有一組模式解，表示為：

其中，歸一化系數(shù)為：

我們將u和v稱為正能自旋和負(fù)能自旋。它們之間有正交歸一關(guān)系：

因此我們將這個(gè)態(tài)展開(kāi)為：

其中的產(chǎn)生湮滅算符滿足反對(duì)易關(guān)系。我們可以根據(jù)產(chǎn)生湮滅算符構(gòu)建場(chǎng)的能動(dòng)量算符以及自旋算符，經(jīng)過(guò)計(jì)算它們?cè)贔ock表象下的期望值，可以看出產(chǎn)生算符表示產(chǎn)生了一個(gè)帶有自旋的粒子，注意還有一個(gè)負(fù)能的粒子。