拓端tecdat|R語言模擬ARCH過程模型分析時間序列平穩(wěn)性、波動性
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在事物的發(fā)展過程中，常表現(xiàn)出復雜的波動情況，即時而波動的幅度較緩，而又時常出現(xiàn)波動集聚性(VolatilitY clustering),在風險研究中經(jīng)常遇到這種情況。恩格爾(Engle)在1982年提出了用來描述方差波動的自回歸條件異方差模型ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity?model?)。并由博勒斯萊 文(Bollerslev, T., 1986)發(fā)展成為廣義自回歸條件異方 差GARCH (Generalized ARCH),后來又發(fā)展成為很多的特殊形式。
在AR(1)過程的背景下，我們花了一些時間來解釋當
接近于1時會發(fā)生什么。?
如果?
?過程是平穩(wěn)的，
如果?
?該過程是隨機游走
如果?
?這個過程會大幅波動
同樣，隨機游走是非常有趣的過程，具有令人費解的特性。例如，
作為?
，并且該過程將無限次穿過?x軸……?
我們仔細研究了 ARCH(1) 過程的性質(zhì)，尤其是當?
，我們得到的結(jié)果可能令人費解。
考慮一些 ARCH(1) 過程?
，具有高斯噪聲，即
其中
是一個 iid 序列?
?變量。這里?
?和?
?必須是正的。
回顧?由于?
??
?. 因此
?
，所以方差存在，并且只有當?
, 在這種情況下
此外，如果?
，則可以得到第四矩，
. 現(xiàn)在，如果我們回到研究方差時獲得的屬性，如果?
， 或者?
??
如果我們查看模擬，我們可以生成一個 ARCH(1) 過程 ，?例如
。
> ea=rnorm> eson=rnorm> sga2=rep> for(t in 2:n){> plot
為了理解發(fā)生了什么，我們應該記住，我們好的是，
必須在
之間能夠計算出
的第二時刻。 但是，有可能有一個具有無限變異的平穩(wěn)過程。
迭代
一次又一次地迭代……
其中
在這里，我們有一個正項的總和，我們可以使用所謂的?Cauchy rule： 定義
那么，如果?
， ?
?收斂。這里，
也可以寫成
并且根據(jù)大數(shù)定律，因為我們這里有一個獨立同分布項的總和，
因此，如果?
， 然后?
?會有限制，當?
?取無窮大。
上面的條件可以寫成
這就是所謂的?Lyapunov?系數(shù)。
方程
是
一個條件?.
在這種情況下?
，這個上界的數(shù)值是3.56。
> 1/exp(mean(log(rnorm(1e7)^2)))
在這種情況下 （
)，方差可能是無限的，但序列是平穩(wěn)的。另一方面，如果?
， 然后?
?幾乎肯定會走向無窮大，因為?
?走向無窮大。
但是為了觀察這種差異，我們需要大量的觀察。例如，?
?
和?
,
我們很容易看出區(qū)別。我并不是說很容易看出上面的分布具有無限的方差，但仍然如此。
如果我們考慮對上述序列繪制希爾圖，在正
的尾部?
> hil
或負
的尾部
-epsilon
我們可以看到，尾部指數(shù)（嚴格來說）小于2（意味著2階的時刻不存在）。
為什么它令人費解？也許是因為這里
不是弱平穩(wěn)（在
意義上），而是強平穩(wěn)。這不是通常的弱和強的關系方式。這可能就是為什么我們不稱其為強平穩(wěn)性，而稱其為嚴格平穩(wěn)性。
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