向量對(duì)向量的投影公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)

2023-03-16 20:49 作者:散佚的魔導(dǎo)書(shū) 0人讀過(guò) | 我要投稿

向量對(duì)向量的投影公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)的記錄，如果我忘記了就可以再看一下這個(gè)記錄...

如果對(duì)任何人有幫助就再好不過(guò)了，如果其中有錯(cuò)誤，請(qǐng)一定要告訴我，謝謝啦！

對(duì)于對(duì)下圖的向量投影，有公式

? $A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%20%7D%7BB%5Ccdot%20B%7D%20%5Cspace%20B%20$

下面是對(duì)此公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)：

如下圖所示，可以知道投影向量? $A_%7Bprojected%7D$ ?的方向和? $B$ ?的方向相同，長(zhǎng)度是? $%7CA%7C%5Ccdot%20%5Csin%20%CE%B8$ 。

所以有

? $A_%7Bprojected%7D%3DB_%7Bnormalized%7D%5Ccdot%20%7CA%7C%5Ccdot%20%5Csin%20%CE%B8$ ?，

其中? $B_%7Bnormalized%7D$ ?是B的歸一化向量，模長(zhǎng)為1，也就是? $B_%7Bnormalized%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B%7CB%7C%7D%20$ 。

由點(diǎn)積的定義? $A%5Ccdot%20B%3D%7CA%7C%7CB%7Csin%CE%B8$ ?可知? $sin%CE%B8%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CA%7C%7CB%7C%7D%20$ ，可帶入上式，得到

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B%7CB%7C%7D%20%5Ccdot%20%7CA%7C%5Ccdot%20%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CA%7C%7CB%7C%7D%20$

化簡(jiǎn)可以得到

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B%7CB%7C%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CB%7C%7D%20$

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CB%7C%5E2%20%7D%20%20B$

最后由于? $B%5Ccdot%20B%3D%7CB%7C%5E2$ ?，得到

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7BB%5Ccdot%20B%7D%20%20B$

標(biāo)簽：

向量對(duì)向量的投影公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)的評(píng)論 (共條)