李永樂(lè)老師曾經(jīng)講過(guò)一個(gè)“醉漢走路”問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題常被用來(lái)解釋布朗運(yùn)動(dòng)※。說(shuō)一個(gè)醉漢，已經(jīng)意識(shí)模糊，但任然可以走路。只不過(guò)，他走路的方向是完全隨機(jī)的。那么經(jīng)過(guò)一定的步數(shù)以后，醉漢是傾向于原地打轉(zhuǎn)，還是離開(kāi)起點(diǎn)一定距離呢？

※布朗運(yùn)動(dòng)指的是極小的微粒（比如一?；ǚ郏?，受到周圍眾多處于無(wú)序熱運(yùn)動(dòng)中的粒子（比如分子）擾動(dòng)，“被迫”進(jìn)行無(wú)序的運(yùn)動(dòng)

?

答案是，醉漢傾向于離開(kāi)起點(diǎn)一定距離，而不是原地打轉(zhuǎn)。具體的請(qǐng)大家移步李永樂(lè)老師的頻道。在這里，我只想介紹一種用excel及其附帶的VBA工具，來(lái)模擬“醉漢走路”過(guò)程的方法。

首先，舞臺(tái)在excel的表格上。也就是說(shuō)，最小的單元就是一個(gè)單元格。每一次移動(dòng)就是隨機(jī)地移動(dòng)到相鄰的8個(gè)單元格中的其中1個(gè)（移動(dòng)到斜對(duì)角也算1格）。限定的步數(shù)為100步。所以，為了有足夠大的空間，把起始位置設(shè)定到坐標(biāo)為（101，101）※的單元格上，把它用黃色邊框標(biāo)記。這樣即使出現(xiàn)始終往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的情況也不會(huì)超出范圍。

※VBA里描述單元格坐標(biāo)的格式為（行序號(hào)，列序號(hào)）。如第3行，B列就是（3，2）

然后，每到達(dá)一個(gè)單元格，就讓其中顯示數(shù)字，記錄到達(dá)過(guò)的次數(shù)※。同時(shí)也為這些單元格上色，到達(dá)次數(shù)越多顏色就越深。最后給終點(diǎn)標(biāo)記上紅色。

※起點(diǎn)在一開(kāi)始時(shí)不會(huì)被計(jì)數(shù)，但之后會(huì)正常計(jì)數(shù)。所以起點(diǎn)格中的數(shù)字代表返回起點(diǎn)的次數(shù)

上圖顯示了1次運(yùn)行的結(jié)果?？梢钥闯?，這次運(yùn)動(dòng)沒(méi)有返回過(guò)起點(diǎn)，在上方的一片區(qū)域（數(shù)字為4，5，6）盤旋了多次，最后位置在右下方的一個(gè)曾經(jīng)到達(dá)過(guò)的位置。因?yàn)槭请S機(jī)※的運(yùn)動(dòng)，每一次運(yùn)行的結(jié)果會(huì)不一樣。當(dāng)然，步數(shù)也可以被設(shè)置為更大的值，只不過(guò)要將起點(diǎn)設(shè)置得遠(yuǎn)一些以獲得更大的舞臺(tái)。下面是代碼。

※像VBA這樣弱小的編程工具里是不存在真隨機(jī)的，這里只是簡(jiǎn)單模擬

Sub walk2()

?Dim x As Integer

?Dim y As Integer

?Dim i As Integer

?Dim temp As Double

?

?Range(Cells(1, 1), Cells(200, 200)).Interior.Pattern = xlNone

?Range(Cells(1, 1), Cells(200, 200)).ClearContents

?‘清除范圍內(nèi)的底色和數(shù)值

?x = 101

?y = 101

‘設(shè)置起點(diǎn)坐標(biāo)。這里y代表行，x代表列

?For i = 1 To 100

? temp = 8 * Rnd

? If temp < 1 Then

?? y = y - 1

?? ElseIf temp >= 1 And temp < 2 Then

?? x = x + 1

?? y = y - 1

?? ElseIf temp >= 2 And temp < 3 Then

?? x = x + 1

?? ElseIf temp >= 3 And temp < 4 Then

?? x = x + 1

?? y = y + 1

?? ElseIf temp >= 4 And temp < 5 Then

?? y = y + 1

?? ElseIf temp >= 5 And temp < 6 Then

?? x = x - 1

?? y = y + 1

?? ElseIf temp >= 6 And temp < 7 Then

?? x = x - 1

?? ElseIf temp >= 7 And temp <= 8 Then

?? x = x - 1

?? y = y - 1

? End If

?‘獲取1個(gè)0~8的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)數(shù)值決定下一格的位置。重復(fù)100次

? Cells(y, x).Value = Cells(y, x).Value + 1

?‘給到達(dá)過(guò)的格子計(jì)數(shù)

? Cells(y, x).Interior.Color = RGB(255 - 17 * Cells(y, x).Value, 255 - 17 * Cells(y, x).Value, 255 - 17 * Cells(y, x).Value)

‘給到達(dá)過(guò)的格子上色

?Next i

?Cells(y, x).Interior.Color = RGB(255, 0, 0)

‘給終點(diǎn)格上紅色

?

End Sub

?

當(dāng)然，這個(gè)運(yùn)行過(guò)程相當(dāng)快。如果想要看到過(guò)程的話，需要在每一步之間加入延時(shí)。VBA并沒(méi)有自帶的延時(shí)，需要自己寫(xiě)一個(gè)。方法有很多，我提供一個(gè)以獲取系統(tǒng)時(shí)間的方式實(shí)現(xiàn)的代碼。可以實(shí)現(xiàn)1秒的延時(shí)。

Sub delay1000()

?Dim t1 As Single

?

?t1 = Timer

?Do

? DoEvents

?Loop While Timer - t1 < 1

?

End Sub

?

用“call delay1000”這個(gè)語(yǔ)句調(diào)用延時(shí)，加在之前的“Next i”的上一句就行了。

然后，為了可視化效果更好一點(diǎn)，在加數(shù)字和上色的同時(shí)，還可以令單元格被選中。用“cells（y，x）.select”這個(gè)語(yǔ)句。

運(yùn)行的效果我已經(jīng)錄成視頻了。

?

最后，我想用這種方式來(lái)計(jì)算運(yùn)動(dòng)100步后，終點(diǎn)與起點(diǎn)距離的數(shù)學(xué)期望的近似值※。只不過(guò)，因?yàn)榍懊姘岩苿?dòng)到斜對(duì)角也看作1步了，所以計(jì)算距離的方法需要做些改變，以最小的格子數(shù)來(lái)表示。

※也就是多次運(yùn)行結(jié)果的平均值。運(yùn)行次數(shù)越多就越逼近數(shù)學(xué)期望

如果初始坐標(biāo)是（a，b），終點(diǎn)坐標(biāo)是（x，y）。那么距離就是：

Max（Abs（a-x），Abs（b-y））

比如下面這個(gè)例子，行方向上相距3，列方向上相距7，所以距離就是較大的7 。

因?yàn)椴恍枰@示出來(lái)，所以可以略去部分代碼。再加上一層循環(huán)，以及計(jì)算最終結(jié)果部分。代碼如下。

Sub walk5()

?Dim x As Integer

?Dim y As Integer

?Dim i As Integer

?Dim j As Integer

?Dim temp As Double

?Dim d As Double

?

?For j = 1 To 10000

? x = 101

? y = 101

? For i = 1 To 100

?? temp = 8 * Rnd

?? If temp < 1 Then

??? y = y - 1

??? ElseIf temp >= 1 And temp < 2 Then

??? x = x + 1

??? y = y - 1

??? ElseIf temp >= 2 And temp < 3 Then

??? x = x + 1

??? ElseIf temp >= 3 And temp < 4 Then

??? x = x + 1

??? y = y + 1

??? ElseIf temp >= 4 And temp < 5 Then

??? y = y + 1

??? ElseIf temp >= 5 And temp < 6 Then

??? x = x - 1

??? y = y + 1

??? ElseIf temp >= 6 And temp < 7 Then

??? x = x - 1

??? ElseIf temp >= 7 And temp <= 8 Then

??? x = x - 1

??? y = y - 1

?? End If

? Next i

? If Abs(x - 101) >= Abs(y - 101) Then

?? d = d + Abs(x - 101) / 10000

?? Else

?? d = d + Abs(y - 101) / 10000

? End If

?Next j

?MsgBox d

?

End Sub

?

我運(yùn)行了幾次，基本上是在9.7~9.8之間。與布朗運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是接近的。布朗運(yùn)動(dòng)的期望是步數(shù)的平方根。運(yùn)動(dòng)100步，距離的期望就是10步。運(yùn)動(dòng)10000步，距離的期望就是100步。你也可以copy這個(gè)代碼，將步數(shù)（i的值）修改成10000，看看結(jié)果會(huì)不會(huì)是100附近（運(yùn)行起來(lái)可能有點(diǎn)費(fèi)時(shí)）。