牛頓375、證明羅爾中值定理

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羅爾中值定理（百度百科）：羅爾（Rolle）中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

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…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…學(xué)：見《歐幾里得4》…

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羅爾定理描述如下：

如果R上的函數(shù)f（x）滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間?[a，b] 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b）。

…R：real number（實(shí)數(shù)）首字母，代指實(shí)數(shù)…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

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…可導(dǎo)：若f（x）在x0處連續(xù)，則當(dāng)a趨向于0時(shí)，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導(dǎo)…見《牛頓360》…

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則至少存在一個(gè)ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個(gè)希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機(jī)變量…

證明：

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用M和m表示，分兩種情況討論：

1.?若 M=m，則函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

…結(jié)、論、結(jié)論：見《歐幾里得66》…

（常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0。

證明見《牛頓333》。）

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2.?若M>m，則因?yàn)閒（a）=f（b）使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)在（a，b）內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f（x）的極值點(diǎn)。

又條件f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，得：f（x）在 ξ 處取得極值。

由費(fèi)馬引理，可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，推知：f'（ξ）=0。

…費(fèi)馬引理：見《牛頓374》…

…駐、點(diǎn)、駐點(diǎn)：見《牛頓368》…

幾何意義

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

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若連續(xù)曲線y=f（x）在區(qū)間 [a，b] 上所對(duì)應(yīng)的弧段AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等，則在弧AB上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于x軸。

…切、線、切線：見《牛頓288》…

“如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）?成立。

請(qǐng)看下集《牛頓376、拉格朗日中值定理》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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