每周分享6：互等定理
勵志考研出品2023年5月25日
前言：本期針對虛功原理的重要應(yīng)用和推論講解一下重要例題和天大真題。
【例題1】試用單位位移法計算圖示靜定梁截面B的彎矩MB和剪力QB。
【解析】天大結(jié)構(gòu)力學(xué)考試中單位位移法不會直接出題，但是本題是影響線機(jī)構(gòu)法題目解題的重要過程，在這里同學(xué)們一定要熟練掌握這種解題方法，加深對虛功原理的認(rèn)識。
【分析】
（1）求M：將原結(jié)構(gòu)中與M相應(yīng)的約束去掉，即在截面B處加一個鉸，使體系能在B處產(chǎn)生相對角位移，同時在鉸兩側(cè)加上外力偶，其值大小為M，此狀態(tài)即為求M實際力狀態(tài)。然后使這一體系沿M的正方向發(fā)生單位相對角位移，得到虛位移狀態(tài)。
（2）求Q：去掉與Q相對應(yīng)的約束，即在截面B處加上兩個平行于桿軸的鏈桿，使體系能在B處產(chǎn)生相對剪切位移，同時在鏈桿兩側(cè)加上大小為Q的集中力，此狀態(tài)即為求Q的實際力狀態(tài)。然后使這一體系沿s的正方向發(fā)生單位相對線位移，得到虛位移狀態(tài)。
【參考答案】
（1）M
（2）Q
【注】剛體虛功原理即T=0。
【例題2】
（2007天津大學(xué)）位移互等定理中位移影響系數(shù)δ=δ，數(shù)值相等，其量綱可能是不同的。（? ）
（2008天津大學(xué)）反力互等定理中反力系數(shù)r=r僅僅是數(shù)值相等，其量綱是不同的。（? ）
（2011天津大學(xué)）位移互等定理，是指第一個力引起第二個力方向上的位移，等于第二個力引起第一個力方向上的位移。（? ）
（2014天津大學(xué)）位移互等定理適用于線性變形體系，也適用于非線性變形體系。（? ）
【參考答案】×，×，×，×
【解析】
（2007）量綱相同。
（2008）量綱相同。
（2011）不僅僅是“力”，必須是“單位力”。
（2014）互等定理的假設(shè)是線彈性小變形和疊加原理，所以互等定理的結(jié)論只適用于線性變形體系。
【總結(jié)】
反力互等定理：支座1由于支座2的單位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的單位位移所引起的反力r21。這一關(guān)系只適用于超靜定結(jié)構(gòu)。應(yīng)該注意，這里所說的約束位移和約束反力，均是指廣義位移和廣義力。反力互等定理不僅適用于兩個反力間的互等，也適用于兩個反力偶間的互等以及反力和反力偶間的互等?；サ炔粌H是指在數(shù)值上相等，而且在量綱上也相同。
位移互等定理：由單位力P2=1所引起與力P1相應(yīng)位置處的位移δ12等于由單位力P2=1所引起與力P1相應(yīng)位置處的位移δ21。
應(yīng)當(dāng)指出,這里所說的單位力及其相應(yīng)的位移，均是指廣義力和廣義位移。位移互等定理不僅適用于兩個線位移間的互等，也適用于兩個角位移間的互等以及線位移和角位移間的互等?；サ炔粌H是指在數(shù)值上相等,而且在量綱上也相同。
【拓展】
廣義功盡管兼收并蓄，包羅很廣，但在所有做功過程中有一個共同的表觀特點，就是一定有宏觀位移產(chǎn)生，或者可以歸結(jié)為宏觀位移的作用。廣義坐標(biāo)、廣義位移和廣義力等都是由分析力學(xué)借用的概念。廣義坐標(biāo)并不一定是我們平常使用的線坐標(biāo)，也可以是角坐標(biāo)、面積坐標(biāo)，甚至是非幾何的物理量；如何選取，視所研究的具體做功過程由方便出發(fā)而定。廣義坐標(biāo)選定之后，廣義位移和廣義力就相應(yīng)地確定了。廣義位移的量綱自然與廣義坐標(biāo)的量綱一樣；而廣義力的量綱則不一定是力的量綱，但它與廣義位移乘積的量綱則一定要和機(jī)械功的量綱相同。
【例題3】（2006天津大學(xué)）圖示交叉體系，在A、E兩點簡支，沿LM固定。已知1kN豎向荷載作用于H點時，各節(jié)點豎向位移是：B、D是0.05cm，F(xiàn)、C、K是0.06cm，G、J是0.1cm，H是1.2cm。現(xiàn)有10kN豎向荷載平均分配在15個節(jié)點上，H點豎向位移為________。
【解析】
拿到題目可以看到最后需要求一個位移，但是條件只給了某個情況下各節(jié)點位移，所以這不是一個常規(guī)的圖乘法求位移，而是需要利用題目位移條件求解H點豎向位移，我們很自然地可以想到互等定理。
【分析】
利用功的互等定理，
【參考答案】1.12cm（向下）
本期互等定理題目都非常經(jīng)典，互等定理也是考試常見的重難點，同學(xué)們一定要掌握這些題目，反復(fù)琢磨，從而加深對互等定理、虛功原理的理解。
如果有疑問，同學(xué)們可以隨時提問，下期有什么想看的可以在群內(nèi)交流！
