因?yàn)橛欣頂?shù)是可數(shù)的，因此有理數(shù)的測(cè)度為0，證明如下：（轉(zhuǎn)載）

簡(jiǎn)單說(shuō)就是：

有理點(diǎn)集設(shè)為{r1,r2....}，取開集Ii=（ri-（ε∧i）/2，ri+(ε∧i)/2）覆蓋一個(gè)有理點(diǎn)ri，i=1,2,...

∑│Ii│=ε/(1-ε)，ε→0，得證。

按照測(cè)度的定義：

測(cè)度，數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。數(shù)學(xué)上，測(cè)度（Measure）是一個(gè)函數(shù)，它對(duì)一個(gè)給定集合的某些子集指定一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)可以比作大小、體積、概率等等。

則對(duì)于（0，1）實(shí)數(shù)集區(qū)間來(lái)說(shuō)，其測(cè)度為1，但實(shí)數(shù)集包含有理數(shù)域無(wú)理數(shù)，現(xiàn)在有理數(shù)的測(cè)度為0，所以無(wú)理數(shù)的測(cè)度為1。

那么如何理解有理數(shù)測(cè)度為0而無(wú)理數(shù)非0呢？

前面證明已經(jīng)表明，有理數(shù)測(cè)度為0首先是因?yàn)橛欣頂?shù)可數(shù)，也就是可以區(qū)分，比如n/m和

n+1/m，因此我們可以用一個(gè)個(gè)可以分割的區(qū)間將其覆蓋；而無(wú)理數(shù)不能區(qū)分，個(gè)人覺(jué)得可以這樣理解：原因應(yīng)該在于，比如兩個(gè)無(wú)理數(shù)，它們前面有無(wú)窮位都相等，而可能是無(wú)窮之后才最后一位不等，因此在有限的位數(shù)里面無(wú)法將這樣兩個(gè)無(wú)理數(shù)區(qū)分，因此也就沒(méi)有辦法將這樣的兩個(gè)無(wú)理數(shù)區(qū)分開來(lái)，所以無(wú)理數(shù)不可數(shù)，簡(jiǎn)單說(shuō)，無(wú)理數(shù)我們可以認(rèn)為它們是連在一起的。因此，無(wú)理數(shù)的測(cè)度非0。

每一個(gè)概率空間都有一個(gè)測(cè)度，它對(duì)全空間取值為1（于是其值全部落到單位區(qū)間[0,1]中）。