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質(zhì)能方程的簡單推導

2022-10-20 08:41 作者:小伙子從不內(nèi)卷  | 我要投稿

我們大概都知道E=mc^2這個極其著名的公式—愛因斯坦的質(zhì)能方程。事實上和它的外表一樣,只要我們清楚狹義相對論的一級結(jié)論質(zhì)速關(guān)系,就可以輕松得到能量等于質(zhì)量×光速的平方的結(jié)論。接下來讓我們看看這是怎么做到的:


利用高中物理的基本知識我們可以知道,有

dEk=Fdr=(dp/dt)? ×dr=Vdp=pdp/m,即:


而此時通過對狹義相對論時空觀數(shù)學層面的研究我們能得出一級結(jié)論,是為質(zhì)速關(guān)系:

又因為p=mv,通過觀察根式特征我們可以發(fā)現(xiàn):

此時把p的平方這一項移到等號右邊,對兩側(cè)函數(shù)同時微分(即兩邊分別除自變量微分構(gòu)造導數(shù),再乘自變量微分以保證等號成立),有:

代入到原式,再兩邊同時積分,可得:

這里的Ek1和Ek2、a和b,分別對應物體的兩個能量狀態(tài)和位置狀態(tài)。


我們能輕松看出,右側(cè)積分式正好是mc^2減去moc^2;那么我們稍加調(diào)整,我們令物體處于初位置的時候動能為0,于是能有Ek2=moc^2;

我們不妨令物體的原有質(zhì)量mo=m,那么就可以這么解釋:一個靜止的、處于理想運動狀態(tài)物體的所有質(zhì)量,將它們?nèi)哭D(zhuǎn)換成能量,能量的值為mc^2,于是則有

是為E=mc^2,得證

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