【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】『數(shù)理化自學(xué)叢書』其實(shí)還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因?yàn)?677版保留了很多古早知識(shí)，讓我終于搞明白了和老工程師交流時(shí)遇到的奇特專業(yè)術(shù)語(yǔ)和計(jì)算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風(fēng)險(xiǎn)極小，即使出版社再版也只會(huì)再版80年代改開版。我認(rèn)為6677版不失為一套不錯(cuò)的自學(xué)教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時(shí)間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』上傳成文字版。

第四章電磁感應(yīng)

【山話||? 本系列專欄中的力單位達(dá)因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳；熱量的單位卡路里等于4.186焦耳；電荷的單位靜庫(kù)（1庫(kù)倫=3×10?靜庫(kù)）；電勢(shì)的單位靜伏等于300伏特。另外這套老教材中力的單位常用公斤、克等，但如今是不允許的，力是不能使用質(zhì)量單位的?！?br>

§4-3感生電動(dòng)勢(shì)

【01】我們已經(jīng)知道：在有電流通過一段導(dǎo)體時(shí)，這段導(dǎo)體的兩端必須具有電勢(shì)差，在有電流通過一個(gè)閉合電路時(shí)，這個(gè)閉合電路里必須具有電動(dòng)勢(shì)。感生電流之所以能夠形成，就是由于線路里有了感生電動(dòng)勢(shì)。

【02】在定量地研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象的時(shí)候，感生電動(dòng)勢(shì)是比感生電流更重要的物理量。感生電動(dòng)勢(shì)只跟產(chǎn)生電磁感應(yīng)的條件有關(guān)，而感生電流則由感生電動(dòng)勢(shì)和電路的電阻等條件來決定。知道了感生電動(dòng)勢(shì)的大小，我們就可以根據(jù)電路的條件，應(yīng)用歐姆定律來確定感生電流的大小。

1、感生電動(dòng)勢(shì)的形成

【03】在學(xué)習(xí)第二章的時(shí)候，我們已經(jīng)知道，電池的電動(dòng)勢(shì)是由于化學(xué)力的存在，使正、負(fù)電荷在電池中作不均勻的分布所形成。與此相似，感生電動(dòng)勢(shì)是由于磁場(chǎng)力的存在，使導(dǎo)體中的自由電子作不均勻的分布所形成。為了便于闡明感生電動(dòng)勢(shì)形成的過程，讓我們?nèi)?dǎo)體切割磁力線為例來進(jìn)行討論。

【04】圖4·9(a)表示一根導(dǎo)體 AB，在磁場(chǎng)中沿 M 方向作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體 AB 本來是中性的，它所帶的正、負(fù)電荷的電量相等，分布均勻，并且不作定向運(yùn)動(dòng)。但當(dāng)導(dǎo)體 AB 在磁場(chǎng)中沿 M 方向作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所帶的正、負(fù)電荷也就都跟著沿 M 方向作定向運(yùn)動(dòng)，沿 M 方向運(yùn)動(dòng)的正電荷，形成沿 M 方向的電流，按照左手法則，它們要受到指向 B 端的磁場(chǎng)力作用。沿 M 方向運(yùn)動(dòng)的負(fù)電荷，形成與 M 方向相反的電流；它們所受到的磁場(chǎng)力方向與正電荷所受到的相反，指向?qū)w的 A 端。導(dǎo)體中原子核所帶的正電荷和繞核旋轉(zhuǎn)的電子所帶的負(fù)電荷，由于受到結(jié)晶點(diǎn)陣和正負(fù)電荷間相互作用的束縛，并不能因?yàn)槭艿酱艌?chǎng)力的作用而發(fā)生電荷分離現(xiàn)象。只有在導(dǎo)體中作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的自由電子（如圖4·9(b)所示)，沿磁場(chǎng)力 f 的方向有附加的定向運(yùn)動(dòng)。這樣就使導(dǎo)體 A 端的自由電子越來越多，而呈帶負(fù)電現(xiàn)象，同時(shí) B 端的自由電子越來越少，就呈帶正電現(xiàn)象，并在導(dǎo)體中建立起一個(gè)越來越強(qiáng)的電場(chǎng)（場(chǎng)強(qiáng)的方向從 B 向 A）。這種新建立起來的電場(chǎng)，對(duì)自由電子的定向運(yùn)動(dòng)起阻礙作用；最后，當(dāng)電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力達(dá)到相互平衡，自由電子就不再向 A 端增加；此時(shí)，A、B 兩端間的電勢(shì)差最大，就是這段導(dǎo)體上的感生電動(dòng)勢(shì)。

【05】在有感生電動(dòng)勢(shì)存在的情況下，AB 這段導(dǎo)體就相當(dāng)于電池的內(nèi)電路，它的 B 端電勢(shì)較高，相當(dāng)于電池的正極，A 端的電勢(shì)較低，相當(dāng)于電池的負(fù)極。在外電路沒有接通時(shí)，導(dǎo)體 AB 上只有感生電動(dòng)勢(shì) E＝UB－UA，而沒有感生電流。在用導(dǎo)線把 A、B 兩端接通以后，在外電路上，電流從高電勢(shì)的 B 端流向低電勢(shì)的 A 端，在內(nèi)電路上，電流從低電勢(shì)的 A 端流向高電勢(shì)的 B 端。此時(shí) A、B 兩端間的電勢(shì)差（即外路電勢(shì)降落）UB－UA?小于感生電動(dòng)勢(shì) E，而等于感生電流強(qiáng)度Ⅰ和外路電阻 R 的乘積ⅠR；閉合電路上的感生電動(dòng)勢(shì) E 和感生電流Ⅰ的關(guān)系遵循歐姆定律，即 E＝Ⅰr＋ⅠR，式中 r 為內(nèi)電阻（即 AB 導(dǎo)體上的電阻），Ⅰr 為內(nèi)路的電勢(shì)降落。

【06】在討論這類問題時(shí)，可能有人會(huì)這樣想：在 AB 這段導(dǎo)線里，電流的方向既然是從 A 向 B，那么 A 端的電勢(shì)就應(yīng)當(dāng)高于 B 端，怎會(huì) B 端的電勢(shì)反而高于A端呢？顯然，這是錯(cuò)誤的想法，導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是把具有電動(dòng)勢(shì)的內(nèi)電路看成了沒有電動(dòng)勢(shì)的外電路了，由于只注意到從 A 到 B 有一個(gè)電勢(shì)降落而忽略了有一個(gè)等于電動(dòng)勢(shì) E 的電勢(shì)躍升。

2、感生電動(dòng)勢(shì)的大小

【07】感生電流和別種電流一樣，當(dāng)它在電路中流過時(shí)總要消耗電能轉(zhuǎn)換成別種形式的能量（例如物質(zhì)內(nèi)能）。這些消耗掉的電能是由什么能量轉(zhuǎn)換來的呢？是通過怎樣的方式來轉(zhuǎn)換的呢？讓我們?nèi)耘f以導(dǎo)體切割磁力線為例來討論吧。

【08】圖4·10表示一個(gè)放在均勻磁場(chǎng)里的矩形線圈 abcd，它的平面和磁力線垂直，它的 ab 邊可以向左右任意移動(dòng)（在移動(dòng)時(shí)仍與導(dǎo)線框接觸）。當(dāng) b 邊沿 M 方向移動(dòng)而切割磁力線時(shí)，矩形線圈里就有感生電流產(chǎn)生，應(yīng)用右手法則可以確定它的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，即在 ab 這段導(dǎo)線里是從 b 流向 a，如圖中箭頭Ⅰ所示。當(dāng)線圈里有感生電流通過時(shí)，線圈的各個(gè)部分都要受到磁場(chǎng)力的作用；應(yīng)用左手法則，可以確定 ab 這段導(dǎo)線所受磁場(chǎng)力?F 作用的方向與切割方向 M 相反，即它阻礙切割運(yùn)動(dòng)。我們已經(jīng)了解，只有導(dǎo)線正在作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈中才有感生電流；切割運(yùn)動(dòng)一停止，感生電流就立即消失。要使導(dǎo)線 b 不斷地作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)，就必須有一個(gè)與磁場(chǎng)力 F 相等、方向相反的外力（即沿 M 方向的外力）作用，它抵抗磁場(chǎng)力 F 做功。通過做功，外力的機(jī)械能就轉(zhuǎn)變?yōu)榫匦尉€圈中的電能。所以我們說，在用閉合線路的一部分導(dǎo)線切割磁力線時(shí)，感生電流的能量是由機(jī)械能轉(zhuǎn)換來的，是通過抵抗磁場(chǎng)力做功的方式來轉(zhuǎn)換的。

【09】感生電流的能量既是通過抵抗磁場(chǎng)力做功來轉(zhuǎn)換的，那么根據(jù)功能定理可知，感生電流在閉合線路中所消耗的總能量應(yīng)當(dāng)?shù)扔诰S持切割運(yùn)動(dòng)所做的功。

【10】通過第三章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，當(dāng)導(dǎo)線 ab 在作切割運(yùn)動(dòng)時(shí)，即線圈 bcd 中有感生電流時(shí)，ab 導(dǎo)線所受到的磁場(chǎng)力，式中 H 為磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位為奧斯特；Ⅰ為感生電流強(qiáng)度，單位為安培； 為作切割運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)線的長(zhǎng)度，單位為厘米；F 為磁場(chǎng)力，單位為達(dá)因。設(shè)在時(shí)間 t 里，切割導(dǎo)線從位置 ab 移到位置 a'b'，那么在這段時(shí)間里外力抵抗磁場(chǎng)力F所做的功，式中 S 為切割導(dǎo)線在時(shí)間 t 內(nèi)所掃過的面積，單位為平方厘米，W? 的單位為爾格。

【11】由于 HS 等于穿過面積 aa'b'ba 的磁通量（即在 t 秒鐘里切割的磁力線條數(shù)）Φ，所以上式又可寫作? 。

【12】通過第二章的學(xué)習(xí)我們還知道，電流在全電路上所消耗的能量，式中電動(dòng)勢(shì) E 的單位為伏特，電流Ⅰ的單位為安培，時(shí)間 t 的單位為秒。

【13】根據(jù)功能定理 W?＝W?，求得感生電動(dòng)勢(shì)的大小? 。這就是說：當(dāng)導(dǎo)線在作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)線里感生電動(dòng)勢(shì)的大小跟導(dǎo)線在單位時(shí)間里切割磁力線的數(shù)目成正比。再?gòu)膱D4·10來看，當(dāng)滑動(dòng)導(dǎo)線從位置 ab 移到位置 a'b' 時(shí)，閉合線圈的面積從 abcd 增加到a'b'cd，穿過閉合線圈的磁通量增加了 Φ＝HS，即在每單位時(shí)間里增加 Φ/t? 。因此，上面的公式又可以理解為：當(dāng)穿過閉合線路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，線路里感生電動(dòng)勢(shì)的大小跟穿過閉合線路的磁通量變化率成正比。

【14】這是由法拉第首先提出的，所以我們把它叫做法拉第電磁感應(yīng)定律；它的一般表示式為，式中 △Φ/△t 為磁通量變化率；在變化均勻的情況下，磁通量變化率等于單位時(shí)間里增加或減少的磁通量（注意：不要把磁通量變化率誤解為磁通量變化）。

【15】在上面，我們拿矩形線圈為例來進(jìn)行討論，只是為了方便，而理論和實(shí)驗(yàn)都證明，法拉第電磁感應(yīng)定律對(duì)于任何形狀的閉合線路都是適用的；并且還證明，這一定律不僅對(duì)單匝線圈適用，對(duì)多匝線圈也適用。在具有 n 匝線圈的閉合線路里，感生電動(dòng)勢(shì)是單匝線圈的 n 倍，即? 。

例2.如圖4·10所示，ab 長(zhǎng)30厘米，整個(gè)矩形線圈放在磁場(chǎng)強(qiáng)度等于 5000 奧斯特的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里；磁場(chǎng)方向與紙面垂直（向紙內(nèi)）。(1)若導(dǎo)線 ab 以 4 米/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，求感生電動(dòng)勢(shì)的大小。(2)若線路 abcda 的電阻恒定，并等于 0.2 歐姆，求移動(dòng)導(dǎo)線 ab 所需要的外力。(3)比較外力所做的功率（即抵抗磁場(chǎng)力所做的功率）和全電路上的電功率。

【解】

(1)根據(jù)題意，導(dǎo)線 ab 向右移動(dòng)時(shí)切割磁力線，因而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)。

????????導(dǎo)線 ab 每秒鐘移動(dòng)的距離為 4 米（即 400 厘米），每秒鐘掃過的面積為 30×400＝12,000厘米2，因而每秒鐘所切割磁力線的數(shù)目（即△Φ/△t）為5000×12,000＝6×10?。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求得感生電動(dòng)勢(shì)?伏特。

(2)在有感生電流通過時(shí)，導(dǎo)線 ab 所受到的磁場(chǎng)力?達(dá)因。

????????為了維持導(dǎo)線 ab 向右移動(dòng)，需要一個(gè)大小等于 F、方向和它相反的外力。

(3)外力的功率 N＝Fv＝45,000×400＝1.8×10?爾格/秒＝1.8瓦特；

????????閉合電路上的電功率?瓦特。

????????對(duì)比以上結(jié)果可以看出，全電路的電功率等于外力的機(jī)械功率。

例3.把一根直導(dǎo)線放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)里，使它和磁力線方向垂直，并使它在和磁力線成 θ 角的方向上以勻速度 v 運(yùn)動(dòng)（如圖4·11所示）。試導(dǎo)出一個(gè)等式來表示感生電動(dòng)勢(shì) E 與速度 v 的關(guān)系。

【解】

????????根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，我們已經(jīng)了解導(dǎo)體中的感生電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體切割磁力線的快慢有關(guān)，即與每秒鐘切割磁力線的數(shù)目有關(guān)。

????????當(dāng)導(dǎo)體沿磁力線方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)樗磺懈畲帕€，所以不產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)方向和磁力線成某一角度 θ 時(shí)，我們可以應(yīng)用平行四邊形法則把導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)分成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)來考慮：一個(gè)與磁力線方向平行的分運(yùn)動(dòng)叫做無效分運(yùn)動(dòng)（導(dǎo)體在這個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)不切割磁力線），另一個(gè)與磁力線方向垂直的分運(yùn)動(dòng)叫做有效分運(yùn)動(dòng)（導(dǎo)體在這個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)切割磁力線）。在研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象時(shí)只需要考慮有效分運(yùn)動(dòng)就可以了，不需要再考慮無效分運(yùn)動(dòng)，所以有效分運(yùn)動(dòng)又叫做切割運(yùn)動(dòng)。

????????從圖4·11可以看出，有效分運(yùn)動(dòng)的速度（即切割運(yùn)動(dòng)的速度）? 。設(shè)導(dǎo)體的長(zhǎng)度（垂直于磁力線方向的長(zhǎng)度）為 l，那么導(dǎo)體每秒鐘掃過的面積為 lw'，即 l v sinθ，導(dǎo)體每秒鐘所切割的磁力線數(shù)為 H l v sinθ? 。

????????根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，得出感生電動(dòng)勢(shì)的表示式： （在解類似的問題時(shí)，上式可以當(dāng)作公式來使用）。

例4.在一個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度 H＝10 單位的均勻磁場(chǎng)里，放一個(gè)面積為 100 平方厘米的導(dǎo)線圈，其匝數(shù)為 500 匝。在 0.1 秒鐘內(nèi)，把線圈從平行于磁力線的方向轉(zhuǎn)過 90°，變成與磁力線的方向垂直。求感生電動(dòng)勢(shì)的平均值。

【解】

????????在線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，導(dǎo)線切割磁力線的快慢是不均勻的，或者說穿過線圈的磁通量變化率是不均勻的，所以感生電動(dòng)勢(shì)也不均勻。但是，我們可以根據(jù)穿過線圈的磁通量的平均變化率來求得感生電動(dòng)勢(shì)的平均值。

????????在時(shí)間 0.1 秒里，線圈轉(zhuǎn)過 90°，穿過它的磁通量從 0 變成 Φ＝HS＝10×100＝1000。

????????在這段時(shí)間里，磁通量的平均增加率?? 。

????????根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律公式，求得多匝線圈的感生電動(dòng)勢(shì)平均值?伏特。

習(xí)題4-3

1、一根豎直的金屬棒，在地磁場(chǎng)中自東向西運(yùn)動(dòng)。問棒的那一端電勢(shì)比較高？你是怎樣確定的？

2、導(dǎo)線在 5 秒鐘里一共切割了 7×10? 根磁力線。求感生電動(dòng)勢(shì)的平均值?！?.14伏特】

3、有長(zhǎng)度等于 0.5 米的導(dǎo)線，在磁場(chǎng)強(qiáng)度 H＝400 奧斯特的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里作勻速運(yùn)動(dòng)，速度的大小 v＝3米/秒。(1)如果導(dǎo)線的長(zhǎng)度、速度的方向和磁力線的方向互成直角，求感生電動(dòng)勢(shì)的大小。(2)如果導(dǎo)線的長(zhǎng)度和磁力線的方向垂直，而速度的方向和磁力線方向的夾角是 30°，求感生電動(dòng)勢(shì)的大小?！?1)0.06伏特，(2)0.03伏特】

4、有一個(gè) 200 匝的導(dǎo)線圈，如果穿過它的磁力線，在 3 秒鐘內(nèi)從 6×10? 根減少到0，問線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)是多大？【4伏特】

5、把一個(gè)面積為 20×40 厘米的矩形導(dǎo)線圈放在磁場(chǎng)強(qiáng)度 H＝2000 奧斯特的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里，使線圈平面和磁力線方向平行，兩個(gè)豎直邊和磁力線垂直（如附圖所示）。在線圈繞 ab 邊以每秒 30 轉(zhuǎn)的速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，(1)感生電動(dòng)勢(shì)的平均值等于多少？(2)線圈在什么位置時(shí)的感生電動(dòng)勢(shì)為零？在什么位置的感生電動(dòng)勢(shì)最大？(3)感生電動(dòng)勢(shì)的最大值等于多少？[提示：(1)每轉(zhuǎn) 1/4 圈需時(shí) 1/120 秒，磁通量的變化情況重復(fù)一次；(2)切割邊的運(yùn)動(dòng)速度 v＝1200 π 厘米/秒]【(1)1.92伏特，(3)3.01伏特】