牛頓421、現(xiàn)在看到的教科書(shū)，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了微積分最初的樣子

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微積分體系幾百年前就建立起來(lái)了，為什么我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)它仍存在困難？——網(wǎng)友提問(wèn)

…微、分、微分：見(jiàn)《牛頓321~336》…

…積、分、積分：見(jiàn)《牛頓337~405》…

…微積分：見(jiàn)《牛頓407》…

…體、系、體系：見(jiàn)《歐幾里得27》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

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…學(xué)、習(xí)、學(xué)習(xí)：見(jiàn)《牛頓160》…

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Hsin（發(fā)布于2020-12-19 17:20，970 人贊同了該回答）：

因?yàn)槲覀?strong>現(xiàn)在看到的教科書(shū)，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了微積分最初的樣子。

微積分不是在幾百年前“唰”的一下就完備地出現(xiàn)在所有人面前，而是在出現(xiàn)后的幾百年里修修補(bǔ)補(bǔ)，才變成了今天的這套體系。

…體、系、體系：見(jiàn)《歐幾里得27》…

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從歷史上看，它是一個(gè)實(shí)踐先于理論的過(guò)程。

…歷、史、歷史：見(jiàn)《歐幾里得111》…

…實(shí)、踐、實(shí)踐：見(jiàn)《歐幾里得11》…

…理、論、理論：見(jiàn)《歐幾里得5》…

…過(guò)、程、過(guò)程：見(jiàn)《歐幾里得194》…

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早期的微積分，對(duì)底層邏輯的要求非常寬松，“微積分的先驅(qū)們多半依靠直覺(jué)而不是根據(jù)推理進(jìn)行計(jì)算”（摘自《微積分的歷程》）。

…邏、輯、邏輯：見(jiàn)《歐幾里得5》…

…直、覺(jué)、直覺(jué)：見(jiàn)《伽利略60》…

（…《伽利略》：小說(shuō)名…）

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…根、據(jù)、根據(jù)：見(jiàn)《歐幾里得115》…

…推、理、推理：見(jiàn)《歐幾里得12》…

…計(jì)、算、計(jì)算：見(jiàn)《歐幾里得157》…

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比如說(shuō)，在牛頓和萊布尼茨（cí）創(chuàng)建微積分的時(shí)候，使用的證明方法都還是幾何直覺(jué)與代數(shù)技巧相混雜的大雜燴，而且都埋伏著致命的邏輯漏洞。

…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…

…方、法、方法：見(jiàn)《歐幾里得2、3》…

…幾、何、幾何：見(jiàn)《歐幾里得28》…

…代、數(shù)、代數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得36》…

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最致命的一點(diǎn)就是「無(wú)窮小」的概念：一個(gè)既等于0、又不等于0的幽靈。

…無(wú)、窮、無(wú)窮，小，無(wú)窮?。阂?jiàn)《牛頓280》…

…概、念、概念：見(jiàn)《歐幾里得22、23》…

在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中，當(dāng)需要除以一個(gè)無(wú)窮小量的時(shí)候，它（無(wú)窮小量）被看作了一個(gè)非0量，而在需要舍去一個(gè)多項(xiàng)式后面含無(wú)窮小量的分量的時(shí)候，無(wú)窮小量又會(huì)被當(dāng)作0而消去。

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{牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義為：

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~294》…

…定、義、定義：見(jiàn)《歐幾里得28》…

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當(dāng)x增長(zhǎng)為x+h時(shí)，x的立方（記為x^3）成為x+h的立方[記為（x+h）^3）]，

即x+h的立方結(jié)果為x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3。

…^：乘方…

…x^3：x的3次方…

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x與x^3的增量分別為h和3x^2 h+3x h^2+h^3。

x^3的增量除以x^3的增量的結(jié)果為3x^2+3x h+h^2，然后代入h=0讓增量消失，則它們的最后結(jié)果為3x^2。

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[上述文字符號(hào)化：

…符、號(hào)、符號(hào)：見(jiàn)《歐幾里得160、161》…

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∵?x→x+h （h≠0）

∴ x^3→（x+h）^3

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又（x+h）^3=x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3

∴ x的增量△x為h；

（x+h）^3的增量△y為3x^2 h+3x h^2+h^3。

?…△：讀音是“德?tīng)査?。音?biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見(jiàn)《牛頓8》…

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△y/△x=（3x^2 h+3x h^2+h^3）/h=3x^2+3x h+h^2

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令h=0，得△y/△x=3x^2+3x·0+0^2=3x^2]

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我們知道3x^2這個(gè)結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過(guò)程確實(shí)存在著明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤：在論證的前一部分假設(shè)h?不為0，而在論證的后一部分又被取為0。

——《牛頓411》}

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萊布尼茨（cí）也有同樣的問(wèn)題，一個(gè)極小的長(zhǎng)度 ，被看作了一個(gè)無(wú)限小的、不可能再分的長(zhǎng)度。

…無(wú)、限、無(wú)限：見(jiàn)《牛頓202》…

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但這樣說(shuō)顯然只是一個(gè)邏輯上的權(quán)宜之計(jì)，并不能強(qiáng)有力地說(shuō)服人。

…權(quán)宜之計(jì)：

權(quán)：暫時(shí)。

宜：適宜。

指為了應(yīng)付某種情況而暫時(shí)采取的變通辦法…

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關(guān)于……無(wú)限小，我們理解為……某種無(wú)限的小，所以每次分割本身都成為一個(gè)級(jí)別，只不過(guò)不是一個(gè)最后的級(jí)別。

如果有誰(shuí)希望將這些[無(wú)限小]理解為最終的事物……，那么，這也是可以的，而且也不會(huì)陷入關(guān)于延伸范圍、或者一般而論的無(wú)限連續(xù)統(tǒng)、或者無(wú)限小的真實(shí)性的爭(zhēng)論中，即使他認(rèn)為這樣的事是完全不可能的。
——萊布尼茨

…范、圍、范圍：見(jiàn)《歐幾里得39》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見(jiàn)《歐幾里得44》…

…真、實(shí)、真實(shí)：見(jiàn)《歐幾里得57》…

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在歷史上這樣的邏輯漏洞甚至牽扯到了宗教信仰，并招來(lái)猛烈的批評(píng)（天主教學(xué)校是有數(shù)學(xué)這門(mén)課的，主教們都是數(shù)學(xué)上的一把好手）。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見(jiàn)《歐幾里得49》…

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這些流數(shù)到底是什么？

逐漸消失的增量的速度有多么大？

這些相同的逐漸消失的增量是什么？

他們既不是有限的量，也不是無(wú)窮小的量，更不是0。

難道我們不能把它們稱為消逝的量的鬼魂嗎？
錯(cuò)誤也許能產(chǎn)生真理，但是決不會(huì)產(chǎn)生科學(xué)。
——貝克萊主教

…錯(cuò)、誤、錯(cuò)誤：見(jiàn)《歐幾里得193》…

…真、理、真理：見(jiàn)《歐幾里得43》…

…科、學(xué)、科學(xué)：見(jiàn)《歐幾里得4》…

這樣的質(zhì)疑其實(shí)是有道理的，實(shí)踐已經(jīng)證明了早期的微積分確實(shí)是求切線和確定極大值或極小值的極好工具。

…切、線、切線：見(jiàn)《牛頓288》…

…工、具、工具：見(jiàn)《歐幾里得161、162》…

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但是如果一個(gè)正確的答案來(lái)自于錯(cuò)誤的思想，反而會(huì)掩蓋其中隱藏的漏洞。

…正、確、正確：見(jiàn)《歐幾里得13》…

…思、想、思想：見(jiàn)《歐幾里得154》…

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就像在某種錯(cuò)誤補(bǔ)償中、某些錯(cuò)誤抵消其它錯(cuò)誤（驚，18世紀(jì)的控制論思想）。

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“早期的微積分將無(wú)窮小看作是一個(gè)靜止的常量，卻用動(dòng)態(tài)的手段去使用它，因而留下了致命的邏輯漏洞；而柯西重建的微積分直接用一個(gè)動(dòng)態(tài)的定義作為所有概念的思想基礎(chǔ)，從而給出了一個(gè)嚴(yán)密的微積分理論體系。

請(qǐng)看下集《牛頓422、早期微積分將無(wú)窮小看作一個(gè)靜止常量，卻用動(dòng)態(tài)手段去使用它》”

若不知曉歷史，便看不清未來(lái)

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