《幾何原本》命題3.13【夸克歐氏幾何】
2023-07-07 14:59 作者:一?？淇?/a> | 我要投稿
命題3.13：
如果兩圓相切，那么切點只有一個
已知：圓ABCD，圓BEDF，兩圓內(nèi)切
求證：圓ABCD，圓BEDF切點只有一個
解：
假如圓ABCD，圓BEDF切點不只一個
設(shè)圓ABCD，圓BEDF切于點B，D
連接BD
求出圓ABCD的圓心點G
（命題3.1）
求出圓BEDF的圓心點H
（命題3.1）
證：
∵點G為圓ABCD的圓心，點H為圓BEDF的圓心，兩圓切于點B，D
（已知）
∴點B，G，H，D在同一直線上
（命題3.11）
∵點G為圓ABCD的圓心
（已知）
∴BG=DG
（定義1.15）
∵DG＞DH
（公理1.5）
∴BG＞DH
（公理1.1）
∵BH＞BG
（公理1.5）
∴BH＞DH
（隱藏公理）
∵點H為圓BEDF的圓心
（已知）
∴BH=DH
（定義1.15）
∴圓ABCD，圓BEDF內(nèi)切時，切點只有一個
已知：圓ACD，圓ACK，兩圓外切
求證：圓ACD，圓ACK切點只有一個
解：
假如圓ACD，圓ACK切點不只一個
設(shè)圓ACD，圓ACK切于點A，C
連接AC
證：
∵點A，C在圓ACD上
（已知）
∴AC在圓ACD內(nèi)
（命題3.2）
∵點A，C在圓ACK上
（已知）
∴AC也在圓ACK內(nèi)
（命題3.2）
∴這是不可能的
（定義3.3）
∴圓ACD，圓ACK外切時切點只有一個
證畢
此命題在《幾何原本》中再未被使用
