復合函數(shù)求導公式的證明：

從以上的證明過程可以看出，關鍵是下一步：

這一步很容易從幾何意義加以解釋：

Δ?y等于對應x0和x0+Δ?x兩點曲線上的高度差，而dy則是相同兩點對應的切線上的高度差，當Δ?x趨于0時兩者相等，而Δ?x趨于0時就直接用dx表示，如下圖：

上述證明思想就是通過微分的方法用切線上兩點的高度差代替曲線上相同兩點的高度差。

證明的結(jié)果是

這個等式的意思就是y對x函數(shù)的斜率就等于y對u函數(shù)的斜率乘以u對x函數(shù)斜率兩者的乘積。

從上圖可以看出，y對x函數(shù)的斜率就等于正弦函數(shù)的斜率乘以2x函數(shù)斜率兩者的乘積。

上述方法可以推廣到多元函數(shù)：

首先通過全微分公式

然后用dz代替Δz,du代替Δu，dv代替Δv。

根據(jù)全微分的幾何意義：

Δz表示過A，B兩點垂線與曲面相交兩點的高度差，而dz則是切平面上相同兩點的高度差，

Δz用dz代替，則同樣是用切平面上兩點的高度差代替曲面上相同兩點的高度差。

最后結(jié)果得出下圖中的全導數(shù)公式：

綜上：

不管是一元函數(shù)還是多元函數(shù)，在證明復合函數(shù)的求導公式時，都是通過微分的近似方法完成的。