雅可比行列式常應(yīng)用于重積分的計算，對化簡積分有著重大的作用，建議大家學習一下。

我們在計算重積分的時候，一般微分算子都是

或者

很多人以為這些微分算子之間是乘法運算，其實并不是。他們之間是一種楔形積的運算，記作^，因此：

楔形積簡單來說，它的運算類似于向量的叉積，因此滿足以下性質(zhì)：

因此，如果

那么

我們把

叫做雅可比行列式（Jacobian），它的值取絕對值，因此恒大于0.

在積分的計算中有什么應(yīng)用呢？最主要的應(yīng)用就是換元。

比如要計算

那么就可以把這個積分寫成：

比如極坐標的積分變換：

我們發(fā)現(xiàn)x和y都是關(guān)于r和θ的二元函數(shù)，因此：

所以：

這就是極坐標積分變換的由來。

我們也可以把這個結(jié)論拓展到三維情況，這個交給讀者自行推導(dǎo)，這里給出結(jié)論：

若

那么

其中

通過三維的楔形積，可以推導(dǎo)出柱坐標和球坐標的積分變換，這里舉柱坐標的例子：

計算雅可比行列式

因此：

最后，我們來看道競賽題：

乍一看一頭霧水，但注意觀察Ω，可以變形：

那么，令：

然后用雅可比行列式換元：

變換的空間區(qū)域為：

這樣積分就化為：

我們分三個部分計算，首先從常數(shù)算起

由于Ω'是球域，那么V=4pi/3，故：

然后是一次項，很巧的是，由于Ω'是個對稱的區(qū)域，并且一次項的變量為奇函數(shù)，根據(jù)對稱性可以知道這一部分積分為0：

最后是二次項，Ω'是個球域，滿足輪換對稱性，也就是：

由球坐標換元，可以得到：

代入原式得到：

故質(zhì)量：