2023浙江大學(xué)強(qiáng)基數(shù)學(xué)逐題解析（8）

2023-07-06 00:03 作者:CHN_ZCY 0人讀過 | 我要投稿

封面：《明日醬的水手服》

22. 三條直線 $l_1%2Cl_2%2Cl_3$ 兩兩平行， $l_1$ 與 $l_2$ 間的距離為1， $l_2$ 與 $l_3$ 間的距離為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ， $l_1$ 與 $l_3$ 間的距離為 $%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$ ， $A%2CB$ 是 $l_1$ 上的兩個(gè)定點(diǎn)且 $AB%3D2$ ， $M%2CN$ 是 $l_2$ 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且 $MN%3D2$ ；三角形 $AMN$ 的外心記為點(diǎn) $C$ ，點(diǎn) $C$ 到 $l_3$ 的距離為 $d$ ，求 $%5Cleft(d%2B%5Cleft%7CBC%5Cright%7C%5Cright)$ 的最小值.

答案?? $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D$ .

解析

由于

$%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%3D1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

所以 $l_1%2Cl_2%2Cl_3$ 在同一平面上，且 $l_2$ 在 $l_1%2Cl_3$ 之間.

過點(diǎn) $A$ 作 $AO%5Cbot%20l_2$ 于點(diǎn) $O$ .

不妨設(shè) $%5Coverrightarrow%7BMN%7D$ 與 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 同向.

以 $O$ 為原點(diǎn)， $MN$ 為 $x$ 軸正方向， $OA$ 為 $y$ 軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè) $M%5Cleft(t%2C0%5Cright)$ ，則 $N%5Cleft(t%2B2%2C0%5Cright)$ .

設(shè) $C%5Cleft(t%2B1%2Cy_C%5Cright)$ ，得

$y_C%5E2%2B1%3D%5Cleft(t%2B1%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(y_C-1%5Cright)%5E2$

即

$%5Cleft(t%2B1%5Cright)%5E2%3D2y_C$

所以 $C$ 在拋物線 $x%5E2%3D2y$ 上.

記 $F%5Cleft(0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)$ ，則

$d%2B%5Cleft%7CBC%5Cright%7C%3D%5Cleft%7CCF%5Cright%7C%2B%5Cleft%7CBC%5Cright%7C%5Cgeq%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D$

當(dāng)且僅當(dāng) $C$ 在線段 $BF$ 上（含端點(diǎn)），即

$C%5Cleft(%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B4%7D%2C%5Cfrac%7B9%2B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B16%7D%5Cright)$

也即 $t%3D%5Cfrac%7B-3%2B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B4%7D$ 時(shí)取等.

所以 $%5Cleft(d%2B%5Cleft%7CBC%5Cright%7C%5Cright)$ 的最小值為 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D$ .

23.?今年是浙江大學(xué)建校126周年，將一個(gè)邊長為126的正六邊形劃分成一系列邊與正六邊形的邊平行且邊長為1的正三角形，我們?cè)O(shè)這些正三角形的頂點(diǎn)所能構(gòu)成的正六邊形的數(shù)量為 $n$ ，求 $n$ 在十進(jìn)制下的末位數(shù)字.

答案? 1.

解析??

設(shè)將一個(gè)邊長為 $m%5Cleft(m%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ 的正六邊形（記作“大正六邊形”）劃分成一系列邊與正六邊形的邊平行且邊長為1的正三角形后，這些正三角形的頂點(diǎn)所能構(gòu)成的正六邊形（記作“格點(diǎn)正六邊形”）的數(shù)量為 $a_m$ .

若某正六邊形滿足：

對(duì)其任意的邊 $l_1$ ，都存在大正六邊形的某條邊 $l_2$ ， $l_1$ 與 $l_2$ 平行或重合.

則記其符合性質(zhì) $A$ .

若某符合性質(zhì) $A$ 的正六邊形的邊長為 $k%5Cleft(1%5Cleq%20k%20%5Cleq%20m%20%2Ck%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%20%5Cright)$ ，則記其符合性質(zhì) $A_k$ .

那么，符合性質(zhì) $A_k$ 的格點(diǎn)正六邊形的個(gè)數(shù)為

$2%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cleft(m-k%2B1%5Cright)%5Cleft(m-k%2B1%2B2m-2k%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D-%5Cleft(2m-2k%2B1%5Cright)%3D3k%5E2-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)k%2B3m%5E2%2B3m%2B1$

符合性質(zhì) $A_k$ 的格點(diǎn)正六邊形的內(nèi)接格點(diǎn)正六邊形（包括其本身）的個(gè)數(shù)為 $k$ .

可以證明，不符合性質(zhì) $A$ 的格點(diǎn)正六邊形，必然內(nèi)接于唯一的符合性質(zhì) $A$ 的格點(diǎn)正六邊形.

記所有格點(diǎn)正六邊形構(gòu)成的集合為 $S$ ，所有符合性質(zhì) $A_k$ 的格點(diǎn)正六邊形的內(nèi)接格點(diǎn)正六邊形（包括它們本身）構(gòu)成的集合為 $S_k$ .

則

$S_1%20%5Ccup%20S_2%20%5Ccup%20S_3%20%5Ccup%20%5Ccdots%20%5Ccup%20S_m%20%3DS$

且對(duì)任意的 $i%2Cj%5Cleft(1%5Cleq%20i%20%5Cleq%20m%20%2Ci%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%3B1%5Cleq%20j%20%5Cleq%20m%20%2Cj%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%20%5Cright)$ ，有

$S_i%20%5Ccap%20S_j%20%3D%5Cvarnothing$

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa_m%3D%5Cmathrm%7Bcard%7D%5Cleft(S%5Cright)%26%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Em%20%5Cmathrm%7Bcard%7D%5Cleft(S_k%5Cright)%5C%5C%26%0A%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Em%20k%5Cleft%5B3k%5E2-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)k%2B3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright%5D%5C%5C%26%3D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Em%5Cleft%5B3k%5E3-%5Cleft(6m%2B3%5Cright)k%5E2%2B%5Cleft(3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright)k%5Cright%5D%5C%5C%26%0A%3D3%5Ccdot%5Cfrac%7Bm%5E2%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%2B%5Cleft(3m%5E2%2B3m%2B1%5Cright)%5Ccdot%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%5C%5C%26%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dm%5E4%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dm%5E2%5C%5C%26%0A%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B2%7D%5Cright%5D%5E2%0A%5Cend%7Baligned%7D$