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一、討論限制在IR?上等價(jià)度量的條件。

1.限制在IR?上（或者擴(kuò)展為有限維線性空間上）度量依然不一定等價(jià)，但有命題：有限維線性空間上的任一范數(shù)都等價(jià)，從而任一由范數(shù)誘導(dǎo)的度量等價(jià)。（從而有限維線性空間內(nèi)的點(diǎn)列在任一由范數(shù)誘導(dǎo)的度量下判別是否是Cauchy列、判別斂散性結(jié)果都一樣，所以可以默認(rèn)用d?度量）

①取一個(gè)基，就發(fā)現(xiàn)有限維線性空間跟IR?在某方面實(shí)際上沒(méi)有區(qū)別。

②證明：要證明范數(shù)等價(jià)，即α‖x‖≤ N(x) ≤β‖x‖，轉(zhuǎn)化為α≤1/‖x‖N(x)≤β

，轉(zhuǎn)化為證N(x/‖x‖)在閉集上的連續(xù)性

在閉集上的連續(xù)性。（恰好定義域就是閉集）

而由范數(shù)公理和Cauchy—Schwarz不等式能保證更強(qiáng)的Lipschitz連續(xù)。

2.推論：IR、IR?任一閉子集在任何由范數(shù)誘導(dǎo)的度量下都是完備的。

二、壓縮映射原理。

1.Lipschitz連續(xù)中令K∈[0,1)，即壓縮映射。（一般f是某度量）

2.幾何意義：畫出“中心”隨曲線移動(dòng)的“喇叭”族，曲線能被覆蓋。 Lipschitz連續(xù)中任意一點(diǎn)切線斜率是有限數(shù)即可，壓縮映射要求斜率≤1。

3.壓縮映射原理證明框架。

①證明存在性。為不斷嵌套迭代，構(gòu)造點(diǎn)列xn+1=φ(xn)，使得d(xn+1,xn)以K?速度遞減，從而證明｛xn｝是Cauchy列，然后由X的完備性和φ的連續(xù)性知不動(dòng)點(diǎn)存在。

②證明唯一性。假設(shè)另有不動(dòng)點(diǎn)ξ'，可知0≤d(ξ,ξ')≤Kd(ξ,ξ')，矛盾。

4.從證明存在性的過(guò)程可看出空間的完備性至關(guān)重要。

5.例子：地圖上的不動(dòng)點(diǎn)。

尋找不動(dòng)點(diǎn)（原地圖和壓縮地圖重合的點(diǎn)）跟構(gòu)造φ的思路相同。