鄭濤（Tao Steven Zheng）著

據(jù)三國時代數(shù)學家趙爽《周髀算經(jīng)注》：

兩差相乘倍而開之, 所得以股弦差增之為勾。以勾弦差增之為股。兩差增之為弦。

今譯：兩差（“勾弦差”和“股弦差”）相乘，加倍，開方，所得加上股弦差，等于勾；所得加上勾弦差，等于股；所得加上兩差，等于弦。

在這段文中，趙爽指出關(guān)于勾股形（直角三角形）其中一個恒等式以及應(yīng)用。

兩差相乘倍而開之:

所得以股弦差增之為勾：

以勾弦差增之為股：

兩差增之為弦：

這些公式是從哪里來的？中國古代數(shù)學家習慣用圖來解析幾何公式。用于推導以上公式的圖叫作“勾股雙矩重迭圖” 。

根據(jù) “勾股雙矩重迭圖”，勾方的面積為 ，股方的面積為 ，弦方的面積為 ；黃方部分為勾方和股方相重迭的正方形，其面積為 ；相對的兩個青矩形的面積都是 。由圖可見

根據(jù)勾股定理 ，得

開方即得

《九章算術(shù)》第九卷 “勾股” 第十二題也有使用這些公式。

今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問：戶高、廣、袤各幾何？

今譯：假設(shè)有一門戶，不知道它的高和廣，有一根竹竿，不知道它的長短。將竹竿橫著，有4尺出不去，豎起來有2尺出不去，將它斜著恰好能出門。問：門戶的高、廣、斜各是多少？

這道題的 “橫之不出” 和 “從之不出” 就是 “勾弦差” 與 “股弦差”。

題解在這里：

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