一、總體感受

很經(jīng)典，需要非常熟練，拿來就可以默寫。

二、需要掌握學會

1、Cauchy準則

2、一致連續(xù)的充要條件，常常用其逆否命題來說明（day11中南開大學這題使用到）

3、Lipschitz條件，在看到一致連續(xù)時候往往想到導數(shù)有界，利用Lagrange中值定理

4、單調(diào)有界定理：實數(shù)系中，有界的單調(diào)函數(shù)必有極限。

（不能忘記很重要）

三、具體題目

（一）華中師大

本題可以結(jié)合與中國礦大（徐州）那題一起分析，出處源于華師大課本第四章總練習題的第1題。

做題思路：

1、寫出一致連續(xù)的定義

2、利用Cauchy準則，得到端點的極限存在（Cauchy準則需要好好學習，默寫）

3、由于端點處極限存在，可以定義一下新函數(shù)

（a處函數(shù)值=a處右極限，b處函數(shù)值=b處左極限）

4、得到新函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，必然在閉區(qū)間上有界，于是自然也在開區(qū)間上有界。

（二）陜西師大

特點：非常經(jīng)典，需要非常熟練，做到拿來就可以默寫

做題思路：

1、先利用Cauchy準則，利用極限存在，寫出2個極限定義（也就是Cauchy準則中極限存在的充要條件）

2、利用f(x)在（-∞，+∞）處連續(xù)，所以閉區(qū)間上[-M1-1,M2+1]上連續(xù)，從而一致連續(xù)，寫出一致連續(xù)定義

3、記新的δ=min{δ1，1｝,意識到x',x''要么同屬于(-∞，-M1],要么同屬于[M2,+∞),要么同屬于[-M1-1,M2+1].發(fā)現(xiàn)在（-∞，+∞）上的x',x''都可以滿足一致收斂的定義。

注意點：不要漏寫|x'-x''|＜δ1、|x'-x''|＜δ。常常犯這種錯誤！

（三）南開大學

特點：可能是21/22清華丘班的一道測試題改編的。觀察到分段函數(shù)然后去求參數(shù)范圍的。

做題思路：

1、以0為界，發(fā)現(xiàn)α≤0，必然不一致連續(xù)，利用一致連續(xù)的充要條件（逆否命題）。

2、得到α必然大于0的情況下，考慮到f(x)求導后，指數(shù)放到前面后，必然出現(xiàn)α-1，所以以1為界再次分兩段考慮。先考慮α＞1，求導發(fā)現(xiàn)這個導數(shù)隨著x→無窮大時，本身趨于無窮大，利用Lagrange中值定理與一致收斂的充要條件（逆否命題），得出不一致連續(xù)。

3、最后只剩下α在(0,1]的一段，先考慮[0,1]上的一致連續(xù)性，再考慮[1,+∞)上的一致連續(xù)性，一樣是要利用Lagrange中值定理以及一致連續(xù)的充要條件。

Remark:這里看到一致連續(xù)，可以等價與導數(shù)有界，也可以利用Lipschitz條件。

（四）中國礦大（徐州）

做題思路：同華中師大。

1、利用單調(diào)有界定理，得到端點處極限均存在

2、既然端點處存在極限，于是就去定義新函數(shù)。

3、得到新函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，從而閉區(qū)間上一致連續(xù)，從而開區(qū)間上也一致連續(xù)。

補充：什么是利普希茨條件(Lipschitz條件)？

這個補充參考了知乎

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