對于傅里葉變換，其中的一些概念很容易讓人模糊不清，比如，周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅里葉轉(zhuǎn)換有什么不同，

這四個(gè)核函數(shù)更是讓人頭痛不已，到底什么時(shí)候要負(fù)號(hào)，什么時(shí)候不要負(fù)號(hào)，什么時(shí)候有n,什么時(shí)候沒有n。這篇文章就討論一下這個(gè)問題。

我們先把這個(gè)證明的思路搞清楚：首先

也就是說，這里證明的是周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開；然后我們再看一下這個(gè)證明的思路： 它首先是假設(shè)任何一個(gè)周期函數(shù)都可以展開為正弦函數(shù)之和，然后再求出各個(gè)正弦函數(shù)的系數(shù)，系數(shù)求出的過程也很簡單，就是以正弦函數(shù)的周期

進(jìn)行方程左右兩邊的積分，最后得出傅里葉級數(shù)的系數(shù)表達(dá)式。注意，是傅里葉級數(shù)，不是傅里葉變換。然后，上述結(jié)果可以寫成：

接著，是利用歐拉公式將這個(gè)表達(dá)式轉(zhuǎn)變成指數(shù)形式：

最后，f(t)可以合并寫成：

上述轉(zhuǎn)變過程很容易看懂，看懂以后，我們只要注意到：第一個(gè)表達(dá)式就是周期函數(shù)f(t)的指數(shù)傅里葉級數(shù)形式，其核函數(shù)里面有n,沒有負(fù)號(hào)，這個(gè)表達(dá)式表示的是周期函數(shù)f(t)從時(shí)域到頻域的級數(shù)展開過程；第二個(gè)表達(dá)式表示的是函數(shù)f(t)展開為傅里葉級數(shù)時(shí)的系數(shù)的求法，其核函數(shù)里面有n,也有負(fù)號(hào)。 接下來，就需要把周期函數(shù)轉(zhuǎn)變成非周期函數(shù)，再求其傅里葉變換。這個(gè)轉(zhuǎn)變過程更簡單，就是假設(shè)

然后定義非周期函數(shù)的傅里葉變換

上述是定義，不用什么證明，我們注意到，這個(gè)時(shí)候核函數(shù)里面沒有n,有負(fù)號(hào)，這是時(shí)域到頻域的正向變換過程。那么對于非周期函數(shù)f(t),就有

這個(gè)時(shí)候核函數(shù)里面沒有n,沒有負(fù)號(hào)，這是頻域到時(shí)域的逆向變換過程。 最后，我們把周期和非周期函數(shù)的傅里葉過程放在一起，總結(jié)一下：

從上面的分析可以總結(jié)如下：

1:周期函數(shù)對應(yīng)于傅里葉級數(shù)，非周期函數(shù)對應(yīng)傅里葉變換，兩者之間的轉(zhuǎn)化在于周期T是否是無窮大。

2：傅里葉級數(shù)中，核函數(shù)里面都有n;而傅里葉變換里面都沒有；

3：無論傅里葉級數(shù)還是傅里葉變換，函數(shù)展開時(shí)（f(t)在方程左邊），核函數(shù)都是正的;否則都是負(fù)的。