定義? ? 設X是正規(guī)空間，A和B是X中不想交的兩個閉集，A和B的一個分割L是指L是X中一個閉集且X＼L可表示為兩個不想交的開集U和V之并且使得A?U，B?V。

關于分割，我們有下面簡單的結果，證明留給讀者。

引理? ? 設X是正規(guī)空間，A和B是X中不想交的兩個閉集，L是A和B的一個分割，那么存在連續(xù)函數(shù)f；X→J =【-1，1】使得? ?A?f^-1(-1)，L?f^-1(0)，B?f^-1(1)。進一步，如果X是度量空間，我們能要求上面的3個公式中?為=。

定理? 設X是正規(guī)空間，則dimX?≤n的充分必要條件是對任意n+1個不想交的閉集對【（Ai, Bi）； i= 1,2,…,n+1】，存在它們的分割【Li ；i= 1,2,…,n+1】使得 L1∩L2…∩Ln+1 =?

本節(jié)最后部分內容是證明局部有限和定理和Dowker定理，為此我們先證明一個引理。

引理? 設X是正規(guī)空間，U=【Us；s∈S】是X的開覆蓋，F是X的一個局部有限的由覆蓋維數(shù)小于等于n的閉集組成的覆蓋。若對任意的F∈F，F僅與有限多個Us相交，則U存在一個開收縮V使得ordV≤n。

由這個引理，我們立即得到下面的局部有限和定理。

定理? 局部有限和定理? ? ? ? ?如果正規(guī)空間X可表示為局部有限的覆蓋維數(shù)小于等于n的閉集族之并，則dimX≤n。

進一步，我們可以證明下面的Dowker定理，它是我們下一節(jié)證明維數(shù)重合定理的一個基礎

Dowker定理? 設X是正規(guī)空間，則下面條件等價；（a） dimX≤n；

（b?）X 的每個局部有限的開覆蓋都存在秩小于等于n的開收縮；

（c ）X的每個局部有限的開覆蓋都存在秩小于等于n的開加細。