先以必要條件來探路（2019課標(biāo)Ⅰ（文）導(dǎo)數(shù)）

2022-09-27 13:15 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2019課標(biāo)Ⅰ文，20）已知函數(shù) $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D2%5Csin%20%20x-x%5Ccos%20%20x-x$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 為 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的導(dǎo)數(shù).

（1）證明： $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在區(qū)間 $%5Cleft(%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 存在唯一零點；

（2）若 $x%5Cin%20%5Cleft%5B%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright%5D%20$ 時， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20ax$ ，求 $a$ 的取值范圍.

解：（1）求導(dǎo)，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%7D%26%3D2%5Ccos%20x-%5Cleft%5B%201%5Ccdot%20%5Ccos%20x%2Bx%5Ccdot%20%5Cleft(%20-%5Csin%20x%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20-1%5C%5C%0A%09%26%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3D%5Ccos%20x%2Bx%5Csin%20x-1%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%3Df'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ ，則

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%3D-%5Csin%20%20x%2B1%5Ccdot%20%5Csin%20%20x%2Bx%5Ccos%20%20x%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx%5Ccos%20%20x%7D$

令 $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $x%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D$ ，

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ；

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20%7D$ ， $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ .

所以 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20_%7B%5Cmax%7D%3Dg%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D-1%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ，

又因為 $g%5Cleft(%5Ccolor%7Bred%7D%7B%200%7D%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3D0%7D$ ， $g%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%20%5Cright)%20%3D-2%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，

故 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)$ 在 $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ 無零點，

在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 存在唯一零點 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_0%7D$ .

綜上： $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Cleft(%200%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ 存在唯一零點 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_0%7D$ .

（2） $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20ax$ 的必要條件為 $f%5Cleft(%20%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20a%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$ ,

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Ba%5Cleqslant%200%7D$ .

下面證明： $a%5Cleqslant%200$ 為 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20ax$ 的充分條件.

若 $a%5Cleqslant%200$ ，則 $ax%5Cleqslant%200$ ，

故欲證 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20ax$ ，只需證 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%200$ .

由（1）可知：

當(dāng) $x%5Cin%20%5Cleft(%200%2Cx_0%20%5Cright)%20$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cnearrow%20$ ；

當(dāng) $x%5Cin%20%5Cleft(%20x_0%2C%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%20%5Cright)%20$ ， $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Csearrow%20$ ；