A-3-6波動(dòng)(2/2)

2023-09-05 19:52 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

3.6.4 拍

當(dāng)兩列不同頻率的波疊加時(shí)，為方便起見，我們令兩列波振幅相同，當(dāng)時(shí)間起點(diǎn)恰當(dāng)時(shí)，兩波源在某點(diǎn)的振動(dòng)方程為：

$%E2%80%8B%5Cbegin%7Bcases%7D%20y_1%3DA%5Ccos(%5Comega_1%20t)%5C%5C%20y_2%3DA%5Ccos(%5Comega_2%20t)%20%5Cend%7Bcases%7D$

那么在該位置

$y%3Dy_1%2By_2%3D2A%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Comega_1%2B%5Comega_2%7D%7B2%7Dt)%20%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Comega_1-%5Comega_2%7D%7B2%7Dt)$

當(dāng)

$%5Cdfrac%7B%5Comega_1-%5Comega_2%7D%7B%5Comega_1%7D%5Cll1$

時(shí)，上式兩個(gè)余弦函數(shù)中，后者的周期遠(yuǎn)大于前者的周期。可以認(rèn)為在前者變化時(shí)，后者幾乎不變。將

$2A%5Ccos(%5Cdfrac%7B%5Comega_1-%5Comega_2%7D%7B2%7Dt)$

看成新的振幅，該振幅隨時(shí)間緩慢變化，這種運(yùn)動(dòng)稱為“拍”。由于振幅沒有正負(fù)，振幅變化頻率為上面對(duì)應(yīng)頻率的兩倍

$f%3D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B%5Comega_1-%5Comega_2%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cright%7C$

滿足

$f%3D%5Cleft%7Cf_1-f_2%5Cright%7C$

振幅變化的頻率也稱為拍頻。

例6.裝置于海底的超聲波探測(cè)器，發(fā)出一束頻率為30000Hz的超聲波，被向著探測(cè)器駛來(lái)的潛艇反射回來(lái)，反射波與原來(lái)的波合成后，得到頻率為241Hz的拍.求潛艇的速率.設(shè)超聲波在海水中的波速為1500m/s.

解：由多普勒效應(yīng)，潛艇接收和反射的頻率

$f_1%3D%5Cdfrac%7Bv_s%2Bu%7D%7Bv_s%7Df_0$
探測(cè)器接收的頻率

$f_2%3D%5Cdfrac%7Bv_s%7D%7Bv_s-u%7Df_1%3D%5Cdfrac%7Bv_s%2Bu%7D%7Bv_s-u%7Df_0$
由于拍頻 $%5CDelta%20f%3D241Hz$ ,

$f_2%3Df_0%2B%5CDelta%20f$
解得

$u%3D%5Cdfrac%7Bf_2-f_0%7D%7Bf_2%2Bf_0%7Dv_s%3D6m%2Fs$

3.6.5 張力

縱波

為了介紹介質(zhì)張力與波速的關(guān)系，我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型來(lái)表示。

例7.質(zhì)量為m的一系列小物塊用勁度系數(shù)為k的小彈簧等間距地連結(jié)成一排，構(gòu)成一條彈性鏈。平衡時(shí)，相鄰物塊間的間距為d，如圖所示。當(dāng)左邊的物塊作圓頻率為的左右簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，此運(yùn)動(dòng)將自左至右逐漸傳播，使各物塊相繼作同頻率、同幅度的振動(dòng)。設(shè) $%5Comega$ ，求此運(yùn)動(dòng)傳播的速度。

由于所有物塊的振動(dòng)形成了穩(wěn)定的波，相鄰物塊振動(dòng)的相位差相等。不妨假設(shè)第i個(gè)物體相對(duì)平衡位置的振動(dòng)方程為

$x_i%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)$

加速度為

$a_i%3D-%5Comega%5E2A%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)$

則第i個(gè)物體所受的合力為

$F%3D-k(x_i-x_%7Bi-1%7D)%2Bk(x_%7Bi%2B1%7D-x_i)$

將上面3式代入

$F_%E5%90%88%3Dma$

得

$-k(x_i-x_%7Bi-1%7D)%2Bk(x_%7Bi%2B1%7D-x_i)%3D-%5Comega%5E2mA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)$

左式為

$kA%5C%7B%5Ccos%5B%5Comega%20t%2B(i-1)%5Cvarphi%5D%20%2B%5Ccos%5B%5Comega%20t%2B(i%2B1)%5Cvarphi%5D-2%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)%5C%7D$

利用和差化積，可化簡(jiǎn)為

$kA%5B2%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)%5Ccos%5Cvarphi-2%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)%5D$

故有

$2kA(%5Ccos%5Cvarphi-1)%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)%3D-%5Comega%5E2mA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bi%5Cvarphi)$

即

$1-%5Ccos%5Cvarphi%3D%5Cdfrac%7B%5Comega%5E2m%7D%7B2k%7D%5Cll1$

左式可以小量近似

$%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%5E2%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Comega%5E2m%7D%7B2k%7D$

相位落后時(shí)間差

$%5CDelta%20t%3D%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B%5Comega%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bk%7D%7D$

波速

$v%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bkd%5E2%7D%7Bm%7D%7D$

我們將上面的模型與張緊的均勻細(xì)繩類比，由于質(zhì)量分布均勻，則彈簧原長(zhǎng)為0。

我們引入質(zhì)量線密度

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bd%7D$

以及此時(shí)彈簧的彈力

$T%3Dkd$

那么張緊的細(xì)繩中的波速公式可以寫成

$v%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BT%7D%7B%5Clambda%7D%7D$

另外，kd也可以理解為單位長(zhǎng)度彈簧的勁度系數(shù)。

橫波

上面的例子描述的是縱波，對(duì)于橫波，我們看下面這道例題。

例8.如圖所示，一個(gè)脈沖波在細(xì)繩中傳播，若繩的線密度為 $%5Crho$ ，繩中張力為T，試求脈沖波在繩上的傳播速度v.

如圖，假設(shè)波速向右，大小為v，選取水平向右速度為v的參考系，則繩子最高點(diǎn)具有向左的速度，對(duì)應(yīng)曲率半徑為R，此時(shí)繩中彈力為T，由兩彈力合力提供向心力，得

$2T%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%3D%5Crho%20R%5Ctheta%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7B%5Crho%7D$

由小量近似，得

$T%3D%5Crho%20v%5E2$

即

$v%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BT%7D%7B%5Crho%7D%7D$

3.6.6 *能流

我們以縱波為例，介質(zhì)波動(dòng)方程

$y%3DA%5Ccos%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

取長(zhǎng)度為 $%5CDelta%20x$ 微元，速度

$v%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3D-%5Comega%20A%5Csin%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

微元?jiǎng)幽?/p>

$E_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CDelta%20mv%5E2%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Crho%5CDelta%20V)%5Comega%5E2%20A%5E2%5Csin%5E2%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

微元形變量

$%5CDelta%20y%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5CDelta%20x%20%3D%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu%7D%20A%5Csin%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D%5CDelta%20x$

令k為單位長(zhǎng)度勁度系數(shù)，則彈性勢(shì)能

$E_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7Bk%7D%7B%5CDelta%20x%7D(%5CDelta%20y)%5E2%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7Bk%7D%7Bu%5E2%7D%20%5CDelta%20x%5Comega%5E2A%5E2%5Csin%5E2%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

代入

$u%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BT%7D%7B%5Crho%20S%7D%7D$

得

$E_k%3DE_p$

微元總能量

$E%3D(%5Crho%20%5CDelta%20V)%5Comega%5E2%20A%5E2%5Csin%5E2%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

空間能量密度

$w%3D%5Cdfrac%7BE%7D%7BV%7D%3D%5Crho%5Comega%5E2%20A%5E2%5Csin%5E2%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

能流定義為單位時(shí)間內(nèi)通過某個(gè)截面的能量

$P%3DwSu%3D%5Crho%20Su%5Comega%5E2%20A%5E2%5Csin%5E2%5B%5Comega%20(t-%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bu%7D)%5D$

對(duì)時(shí)間取平均，得平均能流

$%5Coverline%20P%3D%5Coverline%20wSu%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Crho%20Su%5Comega%5E2%20A%5E2$

3.6.7 練習(xí)

練1.如圖所示，音叉P沿著半徑r=8m的圓以角速度 $%5Comega%3D4rad%2Fs$ 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．音叉發(fā)出頻率為 $f_0%3D500Hz$ 的聲波，聲波的速度為v=330m/s．觀察者M(jìn)與圓周共面，與圓心O的距離為d=2r．求觀察者觀察到的最高和最低頻率。

答案：554Hz，456Hz.

練2.如圖所示，地面上的波源S與探測(cè)器D之間的距離為d，在探測(cè)器D處測(cè)得從波源S直接發(fā)出的波與從波源S發(fā)出又經(jīng)高度為H的水平層B反射后的波的合成信號(hào)強(qiáng)度最大，當(dāng)水平層逐漸升高距離h時(shí)，在探測(cè)器D處測(cè)到的信號(hào)消失．設(shè)波在水平層的反射角等于入射角，不考慮大氣的吸收，求波長(zhǎng) $%5Clambda$ 與d、h、H之間的關(guān)系．

答案： $%5Clambda%3D2(%5Csqrt%7B4(H%2Bh)%5E2%2Bd%5E2%7D-%5Csqrt%7B4H%5E2%2Bd%5E2%7D)$

練3.圖所示，一端固定在臺(tái)上的弦線，用支柱支撐其R點(diǎn)和S點(diǎn)，另一端通過定滑輪吊一個(gè)1.6kg的重物，彈撥弦的RS部分，使其振動(dòng)，則R、S點(diǎn)為波節(jié)，其間產(chǎn)生三個(gè)波腹的駐波，這時(shí)，如在弦的附近使頻率為278Hz的音叉發(fā)音，則5s內(nèi)可聽到10次拍音，換用頻率稍大的音叉，則拍音頻率減小，測(cè)得RS=75.0cm，求

（1）駐波的波長(zhǎng)（2）駐波的頻率（3）弦線的線密度

答案：（1）50cm（2）280Hz（3） $0.8%5Ctimes10%5E%7B-3%7Dkg%2Fm$

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A-3-6波動(dòng)(2/2)

3.6.4 拍

3.6.5 張力

縱波

橫波

3.6.6 *能流

3.6.7 練習(xí)