最近周圍同學(xué)開(kāi)始學(xué)高中集合了，在做題的時(shí)候遇到了一道題，具體而言，應(yīng)該是題目的答案不夠詳盡，題目與網(wǎng)上的答案如下所示。

而關(guān)于這道題，在仔細(xì)思考后，發(fā)現(xiàn)幾個(gè)比較重要的方向（最近在學(xué)高等代數(shù)）以及一個(gè)猜想。所以將這道題拿出來(lái)分享，包括自己的思路發(fā)展過(guò)程。

一、錯(cuò)誤的開(kāi)始

看到這道題的時(shí)候，我有點(diǎn)手足無(wú)措。因?yàn)楹途W(wǎng)上的答案類似，認(rèn)為這是一個(gè)不需要證明就可以得到的結(jié)論，但是還是強(qiáng)行解釋了一下。具體如下：

但是在我回想這道題的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一定的錯(cuò)誤：整數(shù)集對(duì)乘法封閉，但是取集合A={x|x=2a,a∈Z}，顯然集合A包含于Z而不等于Z。對(duì)運(yùn)算封閉并不能說(shuō)明能取整個(gè)集合，所以這個(gè)方法證偽。

二、偶然的發(fā)現(xiàn)

當(dāng)天下午，學(xué)習(xí)丘維聲老師的高等代數(shù)，講到第三章（和第八章合講）的§13 集合的劃分，等價(jià)關(guān)系時(shí)，丘老師用日歷來(lái)舉例（同時(shí)在丘老師的群表示論課程緒論中同樣提到過(guò)），對(duì)整數(shù)集按照模7同余的方式構(gòu)造等價(jià)關(guān)系進(jìn)行劃分，從而得出集合劃分的抽象方法，由此我發(fā)現(xiàn)，這道題的證明也可以用類似的方式進(jìn)行。同時(shí)，丘老師提到，在八九十年代，丘老師參與高考命題時(shí)，會(huì)選擇命制證明兩集合相等的題目，該類型題目的證明思路是證明兩集合互相包含。由此開(kāi)始本次證明。

三、正式的證明

在有了以上思路的情況下，我立刻開(kāi)始書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程：

四、歸納與猜測(cè)

根據(jù)上述內(nèi)容的證明，我對(duì)集合劃分的思想有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，整數(shù)集可以通過(guò)同余的等價(jià)方式找到等價(jià)類進(jìn)行劃分。同時(shí)得出了一個(gè)大膽的猜想：

希望有人可以給出證明或證偽。