我們來繼續(xù)探索兩個多項式之間的關(guān)系，今天的研究對象是最大公因式。

一)最大公因式

因式：g(x)|f(x),則f(x)=h(x)*g(x)，g(x)是f(x)的因式。

倍式：f(x)是g(x)的倍式。

最大公因式的定義如下圖。

最大公因式從字面上就可以理解了，一是公因式，二是要最大的那一些，至于為什么是一些不是一個，因為公因式系數(shù)的原因，倆多項式的一個公因式的k倍仍然是他們的最大公因式(k不等于0）。

這個概念很容易理解，但我們還需要用數(shù)學(xué)語言表達，用數(shù)學(xué)語言表達會使我們能更加簡介準確，以及在數(shù)學(xué)這個概念系統(tǒng)中解決更多問題。

二）輾轉(zhuǎn)相除求最大公因式

先不提輾轉(zhuǎn)相除，我們來復(fù)習(xí)一下昨天學(xué)的東西。

相信大家已經(jīng)琢磨會了，不會的請在評論區(qū)留言哦！
輾轉(zhuǎn)相除的引理：

先不提這個引理對不對，我們在知道他們具有相同的公因式之后我們會怎么想？沒錯，讓我們來求f與g的最大公因式的問題就可以轉(zhuǎn)化為求g和r最大公因式的問題。因為任意兩個多項式都可以寫成上式引理的形式，那g和r的最大公因式也可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化，g=q1r+r1。一直在轉(zhuǎn)化，而他們的因式始終是同一組。轉(zhuǎn)化為怎么樣的形式才是個頭？自然是轉(zhuǎn)化到引理形式中不存在余項rn的時候。為什么要這樣轉(zhuǎn)化？因為這樣轉(zhuǎn)化，使用的是帶余除法，會使余項r的次數(shù)不斷減少，當次數(shù)減少到0，即不含x的時候，余項要么是0要么是非零常數(shù)，如果是0，就是下圖最后一行式子的形式，即整除形式，他們的公因式就是qk+1(x)，這也是他們的最大公因式。如果是非零常數(shù)，那最大公因式為1。

我們的上述想法即為輾轉(zhuǎn)相除法。所以我們的關(guān)鍵問題只剩下一個——這個引理對不對？為什么？在輾轉(zhuǎn)相除之前，我們復(fù)習(xí)了昨天整除的那個性質(zhì)。我們就是用那個來證明的。我再發(fā)一遍對照證明過程看一下：

注意，證明的第二行里f(x)你可以認為他成了一個常數(shù)1，這就是性質(zhì)上的形式。如果同理可得看不明白，下面是省略的部分。

我們用(f(x),g(x))表示這兩個多項式的首一最大公因式。（即首相系數(shù)為1的最大公因式）

下面是輾轉(zhuǎn)相除的一個例題。

繼續(xù)講篇幅有些長，我們留著下一篇繼續(xù)講互素。關(guān)注公眾號下一篇更精彩哦！River期待你的關(guān)注！