題目如下:

思考過程:本題要證f(m)與f(r1)f(r2)...f(rk)不相等.

等式左邊是n次,右邊是kn次,不齊次,直接比較有困難.

因此考慮找到一個數(shù)t,并構(gòu)造f(x),使得左式與右式模t余數(shù)不相等.

直接找t并構(gòu)造f(x)并不容易,因此先研究簡單的情形.

令n取最小值4來進行研究.

對于f(x)=x^4+a2x^2+a1x+a0,我們可以考慮讓構(gòu)造出來的f(x),在x取不同的值時,模t的余數(shù)不變.

同時,f(x)需要滿足各項系數(shù)均為正整數(shù),且最高次項系數(shù)為1.

經(jīng)過一定的探究,可以構(gòu)造出f(x)=x^2(x^2-1)+4(x+1)(x+2)(x+3)+2.

x^2模4余1或0,因此x^2與(x^2-1)中必有一個被4整除.

令t=4.等式左邊模4余2,右邊含有2^k這個因子(k>=2),模4余0.①

左右兩邊模4不相等,左右兩邊必然不等,因此n=4時命題得證.

接下來考慮n>4時的情形.

模仿n=4時的構(gòu)造方式,可以構(gòu)造f(x)=x^2(x^2-1)(x^(n-4))+4(x+1)(x+2)...(x+n-1)+2

仍令t=4,仍能得到①,這樣這道題就能得到證明了.

下面,給出證明過程:

取f(x)=x^2(x^2-1)(x^(n-4))+4(x+1)(x+2)...(x+n-1)+2.

展開后x^(n-2)項系數(shù)>-1+4>0,為正整數(shù),易知其余各項系數(shù)也為正整數(shù),滿足(1).

當(dāng)m為奇數(shù)時,因為m^2模4余1,所以4整除x^2-1.

當(dāng)m為偶數(shù)時,4整除m^2.

所以4整除x^2(x^2-1)(x^(n-4))+4(x+1)(x+2)...(x+n-1).

所以f(m)模4余2.同理,f(r1)模4余2,f(r2)模4余2...f(rk)模4余2

所以f(r1)f(r2)...f(rk)模4余2^k(k>=2)同余到0.

因為f(m)與f(r1)f(r2)...f(rk)模4余數(shù)不同.

所以f(m)不等于f(r1)f(r2)...f(rk)對于任意正整數(shù)m均成立.滿足(2)

命題得證.

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