代數(shù)數(shù)論筆記（二）：二次域和圓域上跡、范和判別式的計(jì)算

2023-04-12 18:57 作者:CupsOfCubs 0人讀過(guò) | 我要投稿

本節(jié)作為上一節(jié)的補(bǔ)充.

在這系列筆記里，最重要的兩個(gè)例子是二次域(quadratic field) $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ （這里 $%5C%7B0%2C%201%5C%7D%5Cnot%5Cni%20d%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$ 無(wú)非平凡平方因子）以及圓域(cyclomatic field) $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Czeta_p)$ （這里 $%5Czeta_p$ 是 $p$ 次單位根， $p$ 是奇素?cái)?shù)）.在這一系列筆記中，我們會(huì)不斷地將新的理論用在這兩個(gè)例子上.這兩個(gè)例子有一個(gè)共同的優(yōu)點(diǎn)，就是他們都是 $%E5%9C%A8%5Cmathbb%7BQ%7D%E4%B8%8A$ Galois的，這給我們的討論帶來(lái)很大方便.

先來(lái)看前者. $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入（取決于 $%0A%5Csqrt%7Bd%7D$ 打到 $%0A%5Csqrt%7Bd%7D$ 還是 $%0A-%5Csqrt%7Bd%7D$ ）剛好構(gòu)成Galois群 $%5Coperatorname%7BGal%7D%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D$ .如果 $d%3E0$ ，則 $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入均是實(shí)的；如果 $d%3C0$ ，則 $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入均是虛的.對(duì)里面的一個(gè)元素 $a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D%5C%2C(a%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BQ%7D)$ ,其所有共軛元素為 $a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D%2Ca-b%5Csqrt%7Bd%7D$ ，因此 $T_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7Bd%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)%3D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)%2B(a-b%5Csqrt%7Bd%7D)%3D2a%2C$ $N_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7Bd%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)%3D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)(a-b%5Csqrt%7Bd%7D)%3Da%5E2-b%5E2d$ .判別式 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Cleft(%5Cdet%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%26a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D%5C%5C1%26a-b%5Csqrt%7Bd%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright)%5E2%3D4b%5E2d$ .進(jìn)一步的一個(gè)例子是 $d%3D-1$ 的情形，此時(shí) $N_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B-1%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(a%2Bb%5Csqrt%7B-1%7D)%3Da%5E2%2Bb%5E2$ 與通常的復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是一致的.在下一節(jié)我們將看到這一點(diǎn)的威力.

$%0A%5Czeta_p$ ?的極小多項(xiàng)式是 $%5Cfrac%7Bx%5Ep-1%7D%7Bx-1%7D%3D1%2Bx%2B%5Ccdots%2Bx%5E%7Bp-1%7D$ ，其所有根是 $%0A%5Czeta_p%2C%5Czeta_p%5E2%2C%5Ccdots%2C%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ ， $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Czeta_p)$ 是 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 的 $p-1$ 次擴(kuò)張.因而 $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Czeta_p)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入構(gòu)成Galois群 $%5Coperatorname%7BGal%7D%5Cmathbb%7BQ(%5Czeta_p)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D$ ，且這個(gè)群是循環(huán)的： $%5Coperatorname%7BGal%7D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Czeta_p)%2F%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5Ccong(%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D)%5E%7B%5Ctimes%7D%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2F(p-1)%5Cmathbb%7BZ%7D$ .所有 $p-1$ 個(gè) $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入均是虛的，兩兩成對(duì).

下面以計(jì)算 $d_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Czeta_p)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)$ 作為結(jié)束：利用 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7D%7DN_%7BL%2FK%7D(m_%7BK%2C%5Calpha%7D'(%5Calpha))$ .下面記 $K%3D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Czeta_p)$ . $%0A%5Czeta_p$ 的極小多項(xiàng)式記為 $f(x)%3D%5Cfrac%7Bx%5Ep-1%7D%7Bx-1%7D$ .對(duì) $(x-1)f(x)%3Dx%5Ep-1$ 兩邊求導(dǎo)得到 $(x-1)f'(x)%2Bf(x)%3Dpx%5E%7Bp-1%7D$ .代入 $%0A%5Czeta_p$ ?得 $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ 即 $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ 即 $f'(%5Czeta_p)%3D%5Cfrac%7Bp%5Czeta_p%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Czeta_p-1%7D$ .因此我們要計(jì)算 $d_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7B(p-1)(p-2)%7D%7B2%7D%7DN_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Cfrac%7Bp%5Czeta_p%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Czeta_p-1%7D)$ .由于 $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D$ 是個(gè)同態(tài)，我們只要分別計(jì)算 $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(p)$ , $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)$ , $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p-1)$ .

$N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(p)%3Dp%5E%7Bp-1%7D$ . $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D%5Czeta_p%5Ek%3D%5Czeta_p%5E%7B%5Cfrac%7Bp(p-1)%7D%7B2%7D%7D%3D1$ , $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p-1)%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(%5Czeta_p%5Ek-1)%3D(-1)%5E%7Bp-1%7D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(1-%5Czeta_p%5Ek)$ .注意一個(gè)常見(jiàn)的技巧： $f(x)%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(x-%5Czeta_p%5Ek)$ ，代入 $x%3D1$ .得到 $%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(1-%5Czeta_p%5Ek)%3Df(1)%3Dp$ .因此 $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p-1)%3D(-1)%5E%7Bp-1%7Dp$ .最終得到 $d_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7B(p-1)(p-2)%7D%7B2%7D%7DN_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Cfrac%7Bp%5Czeta_p%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Czeta_p-1%7D)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7Bp-1%7D%7B2%7D%7Dp%5E%7Bp-2%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Csquare$