s1，s2為方程

c·x2+(d-a)x-b=0

的根

有

s1+s2=(a-d)/c

s1s2=-b/c

即

(ad-bc）

/(a-cs2）2

=(a2-ac(a-d)/c-c2·b/c）

/(a-cs2）2

=(a2-ac(s1+s2)+c2·s1s2）

/(a-cs2）2

=(a-cs1）(a-cs2）/(a-cs2）2

=(a-cs1）/(a-cs2）

有

c·s22+(d-a)s2-b=0

即

b-s2d=-as2+s22c

即

(b-s2d）/(a-s2c）

=-s2

a(n+1)

=(a·an+b)/(c·an+d）

即

a(n+1)-s2

=((a-s2c）an+(b-s2d）)/(c·an+d）

即

1/(a(n+1)-s2）

=(c·an+d）

/((a-s2c）an+(b-s2d）)

即

1/(a(n+1)-s2）

=(c·an+d）/(a-s2c）

/(an+(b-s2d）/(a-s2c）)

即

1/(a(n+1)-s2）

=(c/(a-s2c）(an+(b-s2d）/(a-s2c））

-c(b-s2d）/(a-s2c）2

+d(a-s2c）/(a-s2c）2）

/(an+(b-s2d）/(a-s2c）)

即

1/(a(n+1)-s2）

=(ad-bc）/(a-s2c）2

/(an+(b-s2d）/(a-s2c）)

+c/(a-s2c）

即

1/(a(n+1)-s2）

=(a-cs1）/(a-cs2）

/(an-s2)

+c/(a-s2c）

若s1=s2

即(a-cs1）/(a-cs2）=1

即

1/(a(n+1)-s1）

=1/(an-s1)+c/(a-cs1）

即

1/(a(n+1)-s1）-1/(an-s1)

=c/(a-cs1）

即

｛1/(an-s1）｝

為公差為

c/(a-cs1）

的等差數(shù)列

若s1≠s2

1/(a(n+1)-s2）

=(a-cs1）/(a-cs2）

/(an-s2)

+c/(a-s2c）

即1/(a(n+1)-s2）

=((a-cs1）/(a-cs2）/(an-s2)

+(((a-cs1）-(a-cs2））/(a-cs2））/(s2-s1)）

即1/(a(n+1)-s2）+1/(s2-s1)

=((a-cs1）/(a-cs2）/(an-s2)

+(a-cs1）/(a-cs2）/(s2-s1)）

即1/(a(n+1)-s2）+1/(s2-s1)

=(a-cs1）/(a-cs2）

(1/(an-s2)+1/(s2-s1)）

即1/(a(n+1)-s2）+1/(s2-s1)

/(1/(an-s2)+1/(s2-s1)）

=(a-cs1）/(a-cs2）

即｛1/(an-s2)+1/(s2-s1)｝

即｛(s2-s1)/(an-s2)+1｝

即｛(an-s2+s2-s1)/(an-s2)｝

即｛(an-s1)/(an-s2)｝

為公比為

(a-cs1）/(a-cs2）

的等比數(shù)列

得證