對(duì)于形如下圖的多項(xiàng)式：

我們可以用對(duì)二取模的方法判斷其是否為有理數(shù)集內(nèi)的既約多項(xiàng)式(本文中僅說明有理數(shù)集內(nèi)的情況)。

首先,如果這個(gè)多項(xiàng)式不是既約多項(xiàng)式,則它必定有因式,且完全因式分解后,其因式必定都為既約多項(xiàng)式。所以,我們只要判斷其是否有不少一個(gè)的既約因式。我們需要判斷任意不小于n/2次的既約因式(因?yàn)槿绻浯嬖谝粋€(gè)最高次為q次的因式。q>n/2時(shí),那么必有另一個(gè)最高次為n-q次的因式,而n-q<n-n/2=n/2;q<n/2時(shí),易得)是否為其因式。

下面,同時(shí)對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式與所有最高次不大于n/2的既約多項(xiàng)式的系數(shù)對(duì)二取模,現(xiàn)在,只需證明對(duì)二取模后的多項(xiàng)式是否能被所有對(duì)二取模后的最高次不小于n/2的既約因式整除即可(后面都為以二為模的運(yùn)算),

可以得到,一次的既約多項(xiàng)式有:x、x+1,二次的有:x2+x+1。舉個(gè)例子:
如要證明x3+3x2+4x+1為既約多項(xiàng)式,則對(duì)二取模,為:x3+x+1,而n/2為3/2,所以只要驗(yàn)證其是否具有一次既約因式。對(duì)其進(jìn)行變化:x3+x+1?x(x2+1)+1?x(x+1)2+1(因?yàn)槭菍?duì)二取模的運(yùn)算,所以x2+1等價(jià)于x2+2x+1(一次項(xiàng)系數(shù)在以二為模的運(yùn)算中等價(jià)于0)也就等于(x+1)2),顯然,x、x+1都不能整除它,不是它的既約因式,從而x3+x+1是既約多項(xiàng)式,即原式為既約多項(xiàng)式。

再舉一例：證明x?+x3+1是既約多項(xiàng)式。

x?+x3+1?x3(x+1)(x2-x+1)+1?x3(x+1)(x2+x+1)+1(注意,正負(fù)號(hào)在此運(yùn)算中是同一的)

所以,x、x+1、x2+x+1都不是其因式,接下來,只需證明其無三次(n/2=3)既約因式。將x3+x+1、x3+x2+1對(duì)其長除法,即可得x3+x+1、x3+x2+1也不是其因式,故原式為既約多項(xiàng)式。

(以上均為初中小藍(lán)本因式分解12.2奇與偶的詳細(xì)分析)