先看黎曼積分的定義：

圖2表明，黎曼可積的充要條件是：對(duì)于圖1中的任意一個(gè)曲邊梯形，不管曲邊上取最大值還是最小值，積分的結(jié)果應(yīng)該相同，也就是：

再看迪利克雷函數(shù)：

也可以簡(jiǎn)單地表示分段函數(shù)的形式D(x)= 0（x是無(wú)理數(shù)）或1（x是有理數(shù)），也就是

也可以用圖形表示：

對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分，因?yàn)閿?shù)軸上任意一個(gè)區(qū)間

既包含有理數(shù)，也包含無(wú)理數(shù)，所以這個(gè)積分可分為：

兩者積分的結(jié)果不相等，有

這里的分劃T指任意一個(gè)

從而不滿足圖3中的黎曼可積的條件

因此，迪利克雷函數(shù)不是黎曼可積的。

通過(guò)上面證明過(guò)程可以看出，一個(gè)函數(shù)要黎曼可積，其實(shí)就是要保證在足夠小的區(qū)間里面，這個(gè)曲邊梯形的面積具有唯一的值，其實(shí)就是要求被積函數(shù)應(yīng)該是連續(xù)的（簡(jiǎn)單理解），而迪利克雷函數(shù)不滿足這個(gè)條件，所以不可積。