我們?cè)贓p21聊了“實(shí)數(shù)完備性”的第一個(gè)定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們?cè)贓p49介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第二個(gè)定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

我們?cè)贓p61介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第三個(gè)定理——“閉區(qū)間套定理”：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時(shí)——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點(diǎn)/一個(gè)數(shù)。

我們?cè)贓p66介紹了“實(shí)數(shù)完備性”的第四個(gè)定理——“柯西準(zhǔn)則”——

條件：對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時(shí)，有|xn-xn'|<ε；

結(jié)論：數(shù)列{xn}有極限x，即對(duì)于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時(shí)，有|xn-x|<ε'。

我們?cè)贓p67從“確界原理”推導(dǎo)“柯西準(zhǔn)則”，今天來反過來，從“柯西準(zhǔn)則”推導(dǎo)出“確界原理”。

已知：非空有上（下）界數(shù)集E（E'）。

求證：該數(shù)集必有上（下）確界。

工具：柯西收斂原理——柯西列必收斂。

分析：E為有限數(shù)集的情況確界原理成立是顯然的，我們只討論E是無限數(shù)集的情況。

證明（以有上界數(shù)集E為例）——

step1：用已知數(shù)集構(gòu)造一個(gè)柯西列——

1. 已知數(shù)集E有上界b，即對(duì)于數(shù)集E中任意元素e，e<=b；

2. 取E中元素a，令a1=a，b1=b，得到第一個(gè)閉區(qū)間[a1，b1]；

3. 將[a1，b1]等分成兩個(gè)閉區(qū)間，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——

   如果（a1+b1）/2是E的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果（a1+b1）/2不是E的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二個(gè)閉區(qū)間[a2，b2]；

4. 依次重復(fù)上述步驟……

5. 將[ak，bk]等分成兩個(gè)閉區(qū)間，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果（ak+bk）/2是E的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果（ak+bk）/2不是E的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1個(gè)閉區(qū)間[ak+1，bk+1]；

6. ……

7. 由此得到兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}；

8. 由數(shù)列的構(gòu)造可知，若對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N且n'>N時(shí)，有|an-an'|<=|an-bn|=（b-a）/2^（n-1）<ε，即對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在N=log2?[（b-a）/ε]+2可使得，當(dāng)n>N且n'>N時(shí)，有|an-an'|<ε；

9. 由此得{an}為柯西列，有極限x，即對(duì)于任意小數(shù)ε'>0，存在自然數(shù)N'，當(dāng)n>N'時(shí)，有|an-x|<ε'。

step2：證明x為E的上確界——

1. （反證法）如果E中存在元素e0>x，由于對(duì)于E中任意元素e，任意n都有bn>=e，所以對(duì)于任意n有，bn>=e0>x，則對(duì)于任意n，存在ε0>0，使得bn-x=ε0，而對(duì)于ε0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有bn-an=（b-a）/2^（n-1）<ε0，即，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，an>x，即an-x=ε1>0，與x是{an}極限矛盾，故對(duì)于E中任意元素e，有x>=e，即x是E的上界；

2. （反證法）如果存在ε1>0，使得對(duì)于E中任意元素e，都有x-ε1>=e，則x-ε1也是E的上界，即x-e>=ε1>0，對(duì)ε1>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有x-an<ε1，即當(dāng)n>N時(shí)，有e<an，則an此時(shí)為E的上界，與an不是E的上界矛盾，所以，對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在E中元素e'，使得x-ε<e'。

今天就到這里！