2023塞爾維亞數學奧林匹克（部分）

2023-04-25 19:33 作者:久霖競賽田 0人讀過 | 我要投稿

已知 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外心為O, 垂心為H.設 $%5Ctriangle%20AOH%2C%20%5Ctriangle%20BOH%2C%20%5Ctriangle%20COH$ 的外心分別為 $O_a%2C%20O_b%2C%20O_c$ . 求證: 直線 $AO_a%2C%20BO_b%2C%20CO_c$ 三線共點.

(第二題暫缺)

3. 給定正整數m,n,以及數列 $a_1%2C%20a_2%2C%20%5Cldots%2C%20$ 使得對任意i>n, 均有 $a_i%3Da_%7Bi-n%7D$ .

對任意1≤j≤n,設 $l_j$ 表示滿足 $m%20%5Cmid%20a_j%2Ba_%7Bj%2B1%7D%2B%5Cldots%2Ba_%7Bj%2Bl_j-1%7D$ 的最小正整數.

求證:? $l_1%2Bl_2%2B%5Cldots%2Bl_n%20%5Cleq%20mn.$

4. 給定正整數n以及素數q, 求證:? $n%5Eq%2B(%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D)%5E2$ 一定不是q的冪.

(第五題暫缺)

6.已知 $%5Ctriangle%20ABC$ 內心為I, 外接圓為ω. 其內切圓與邊BC切于點D. 過I作AI的垂線與AB,AC分別交于點E,F, 而 $%5Codot%20(AEF)$ 與ω和AI分別交于點G,H. 過G作ω的切線與BC交于點J, 直線AJ與ω交于點K. 求證:? $%5Codot(DJK)%E4%B8%8E%5Codot(GIH)%E7%9B%B8%E5%88%87$ .