命題3.7：

如果在一個(gè)圓的直徑上取一個(gè)不是圓心的點(diǎn)，那么該點(diǎn)向圓上所引的線段中，圓心所在的一段最長(zhǎng)，同一直徑余下的一段最短，在其余的線段中，與圓心所在連線的夾角較小的線段較短，所引連線中只有兩條相等的連線各在最短連線的一邊

已知：圓ABCD，直徑AD，點(diǎn)E為圓ABCD的圓心，點(diǎn)F在ED上，從點(diǎn)F引線段BF,CF,GF，其中∠BFA＜∠CFA＜∠GFA

求證：點(diǎn)F向圓ABCD上所引的線段中，AF最長(zhǎng)，F(xiàn)D最短，BF＞CF＞GF

解：

連接BE，CE，GE

（公設(shè)1.1）

證：

∵點(diǎn)E是圓ABCD的圓心

（已知）

∴AE=BE

（定義1.15）

∵△BEF中，BE+EF＞BF

（命題1.20）

∴AE+EF＞BF

（公理1.1）

∵AE+EF=AF

（已知）

∴AF＞BF

（公理1.1）

同理可證，其它線段都小于AF

∵點(diǎn)E是圓ABCD的圓心

（已知）

∴GE=DE

（定義1.15）

∵△EFG中，GF+EF＞GE

（命題1.20）

∴GF+EF＞DE

（公理1.1）

∴GF＞DF

（隱藏公理）

同理可證，其它線段都大于DF

∵點(diǎn)E是圓ABCD的圓心

（已知）

∴BE=CE

（定義1.15）

∵EF公用，∠BEF＞∠CEF

（公理1.5）

∴BF＞CF

（命題1.24）

同理可證，CF＞GF

求：在AD另一側(cè)，從點(diǎn)F向圓上引一條線段使其等于GF

解：
在EF上以點(diǎn)E為頂點(diǎn)在AD另一側(cè)作∠FEH=∠FEG，與圓ABCD的交點(diǎn)記為點(diǎn)H

（命題1.23）

連接HF

求證：GF=HF，且所引線段中除FH外沒有別的線段與GF相等

證：
∵點(diǎn)E是圓ABCD的圓心

（已知）

∴GE=EH

（定義1.15）

∵∠FEH=∠FEG，EF公用

（已知）

∴△EFG≌△EFH，GF=HF

（命題1.4）

設(shè)所引線段中還有KF=GF，其中∠KFA＜∠HFA

∵∠KFA＜∠HFA

（已知）

∴KF＞HF

（已證）

∵KF=GF，GF=HF

（已知）

∴KF=HF

（公理1.1）

∴大的等于小的這是不可能的

∴所引線段中除FH外沒有別的線段與GF相等

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用

隱藏公理：如果X＞Y，那么X-Z＞Y-Z，這一性質(zhì)未出現(xiàn)在本書的公理中。