今天開始我們學(xué)習(xí)第三章，正式進(jìn)入彎曲時(shí)空的部分，學(xué)習(xí)本章需要我們對(duì)廣義相對(duì)論有一定的基礎(chǔ)，相信大家都有一定的基礎(chǔ)。下面我們開始3.1節(jié)的學(xué)習(xí)。

3.1 時(shí)空結(jié)構(gòu)

首先我們假設(shè)時(shí)空是一個(gè)c無窮、n維、全局雙曲的偽Riemannian流形。這些性質(zhì)有助于后面我們量子化時(shí)空。

偽Riemannian度規(guī)所對(duì)應(yīng)的線元可以表示為：

并且定義：

我們通常會(huì)使用Penrose圖，它可以將整個(gè)時(shí)空利用有限的圖表示出來，不過需要我們對(duì)度規(guī)做一個(gè)共形變換。注意共形變換和坐標(biāo)變換是不一樣的。將度規(guī)的共形變換表示為：

注意，\Omega是一個(gè)連續(xù)非零有限的實(shí)函數(shù)。

我們可以的帶一些常用量在這個(gè)變換后的表示。如下：

并且有：

考慮一個(gè)2維Minkovski時(shí)空的線元：

在類光坐標(biāo)

下線元變?yōu)椋?/p>

再做一次坐標(biāo)變換。

并且共性相關(guān)線元是被給的：

這個(gè)和(3.10)有相同的形式，他也可以覆蓋整個(gè)時(shí)空。圖4給出了變換后的時(shí)空?qǐng)D，它將無窮遠(yuǎn)壓縮到了邊界線上。

下面我們考慮一個(gè)4維的Schwarzschild時(shí)空，線元為：

變換到Kruskal坐標(biāo)下：

線元中的第一項(xiàng)和(3.10)保持一致， 經(jīng)過變換后我們可以得到：

這是完整的時(shí)空?qǐng)D。

最后我們要考慮一些Killing矢量的性質(zhì)。Kinlling矢量滿足Lie導(dǎo)數(shù)方程：

化簡(jiǎn)后為：

共性變換后的度規(guī)滿足的方程為：