思路：題目要求證明f''（x）有界，首先從Lagrange入手，因為此時題目已經(jīng)給出了f'''有界，如果使用Taylor定理會引入f'，反而不好處理。

如圖，

Lagrange可以聯(lián)系原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)

，并且我們由上圖可知，不妨假設(shè)f'''（ξ）＞0（＜0同理），此時f''恒在切線上方，但此時題目給出了f'''有界，如

果能限制（x-x0）范圍即可證明出二階導(dǎo)有界。

此時我們將該式子兩邊加上絕對值，并且進行放縮，研究|x-x0|即可。 若0

接下來繼續(xù)研究另一個區(qū)間（x>x0）。 因為根據(jù)圖1的分析，此時Lagrange失效，考慮使用泰勒。

為了消掉f'（x）我們可以在x+x0和x-x0處Taylor展開，如上圖所示。

聯(lián)立兩式，用絕對值不等式進行放縮，可以證明有界。

此時我們不難發(fā)現(xiàn)x0具有任意性，x0=1即為李正元書上的特殊情況。

這里再補充一道原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的題目