我認(rèn)為, 一些平面幾何題是可被用三角函數(shù)解決的; "三角" 是有秘密的. 最近, 有幾個(gè)同志問(wèn)我求角度的題. 我一看, 這是已知四個(gè)角, 求一個(gè)角. 具體地, 有一個(gè)題說(shuō): "設(shè) D 是三角形 ABC 內(nèi)的一點(diǎn). 設(shè)角 ABD, DBC, DCB, ACD 分別是 30°, 40°, 20°, 50°. 求角 DAB." 看上去, 這是有一些挑戰(zhàn)的. 不過(guò)三角不怕此事. 為什么呢?

首先, 1 = (AB/AD) (AD/AC) (AC/AB); 我想, 這是顯然的.

秘密來(lái)了.

在三角形 ABD 中, 邊 AB 所對(duì)的角為 (150°-x), 邊 AD 所對(duì)的角為 30°, 故由正弦定理,

AB/AD = sin(150°-x)/sin(30°) = 2sin(x+30°);

在三角形 ADC 中, 邊 AD 所對(duì)的角為 50°, 邊 AC 所對(duì)的角為 90°+x, 故由正弦定理,

AD/AC = sin(50°)/sin(90°+x) = sin(50°)/cos(x);

在三角形 ACB 中, 邊 AC 所對(duì)的角為 70°, 邊 AB 所對(duì)的角為 70°, 故

AC/AB = 1.

從而

1

= (AB/AD) (AD/AC) (AC/AB)

= 2sin(x+30°) sin(50°) / cos(x).

從而

2sin(x+30°) sin(50°) = cos(x).

從而

(√3 sin(x) + cos(x)) cos(40°) = cos(x).

從而

(√3 tan(x) + 1) cos(40°) = 1.

從而

tan(x) = (1 - cos(40°)) / (√3 cos(40°)).

注意到

tan(x)

= (1 - cos(40°)) / (√3 cos(40°))

= (1 - cos(40°)) (2sin(40°)) / (√3 cos(40°) 2sin(40°))

= (2sin(40°) - sin(80°)) / (√3 sin(80°))

= (2sin(40°) - cos(10°)) / (√3 cos(10°))

= (2sin(10°+30°) - cos(10°)) / (√3 cos(10°))

= (√3 sin(10°) + cos(10°) - cos(10°)) / (√3 cos(10°))

= (√3 sin(10°)) / (√3 cos(10°))

= tan(10°),

再注意到 0 < x < 40°, 即得 x = 10°.