和弦的幾何

2019-12-02 15:39 作者:露保協(xié) 0人讀過(guò) | 我要投稿

要講的是兩個(gè)幾何模型。

音類(lèi)圓周。它的目的是把傳統(tǒng)的三度疊置的和弦推廣到一般的情形，可以是非調(diào)性的。
音網(wǎng)。它強(qiáng)調(diào)的是調(diào)性關(guān)系，也就是五度和三度。按照調(diào)性關(guān)系形成環(huán)面上的網(wǎng)絡(luò)。是五度圓周的推廣。

在此之前首先是一些胡思亂想。音樂(lè)大概可以說(shuō)有物理和心理兩個(gè)屬性。物理上，比如弦振動(dòng)，膜振動(dòng)，背后的Dirichlet特征值問(wèn)題，對(duì)于不同人來(lái)說(shuō)都是一樣的。心理上，或者說(shuō)藝術(shù)上，不同人的感知當(dāng)然不同，在“感知空間”上有一個(gè)測(cè)度。這個(gè)測(cè)度肯定不是均勻的，大概會(huì)像large deviation一樣有一種“概率的凝聚”在里面，所以偏離rate function最低點(diǎn)的人數(shù)比例是指數(shù)減少的。這樣一來(lái)藝術(shù)的理論才有意義，要不然均勻分布的感知產(chǎn)生的就是完全隨機(jī)的藝術(shù)，誰(shuí)也看不懂誰(shuí)。

那么我們就要問(wèn)，這個(gè)rate function最低點(diǎn)到底是啥。我覺(jué)得也許是（或者說(shuō)包含了）Weber-Fechner定律，也就是對(duì)數(shù)感知。不管對(duì)于數(shù)目，音高，聲壓，還是很多物理量，人的感知都是對(duì)數(shù)形式的。邊際效應(yīng)遞減也是同樣的道理，它落在rate function最低點(diǎn)上，所以除去稀有事件以外，經(jīng)濟(jì)學(xué)里都假設(shè)邊際效應(yīng)遞減。

我們現(xiàn)在著重研究和聲。Weber-Fechner定律很自然地導(dǎo)致人類(lèi)發(fā)明了三分損益、五度相生，以至于后來(lái)的純律和平均律。如果人的感知是線(xiàn)性的話(huà)，發(fā)展起來(lái)的律學(xué)也就完全不一樣了。

進(jìn)一步，“積性數(shù)論”導(dǎo)致了missing fundamental效應(yīng)。我們聽(tīng)到的音樂(lè)都是帶有一整列泛音的（當(dāng)然你可以用Mathematica生成純正弦波，但是自然中沒(méi)有這種東西），從這一整列泛音中怎么能聽(tīng)出一個(gè)音高來(lái)？missing fundamental效應(yīng)說(shuō)你聽(tīng)到的是頻率的最大公約數(shù)。所以聽(tīng)鋼琴聽(tīng)到的就是基頻，聽(tīng)定音鼓聽(tīng)到的就是名義頻率，聽(tīng)理想膜振動(dòng)就聽(tīng)不出音高感，聽(tīng)純五度就很舒服（因?yàn)榉阂袅兄睾现?，最大公約數(shù)沒(méi)有被破壞），聽(tīng)大二度就不舒服（比較嚴(yán)重地破壞了泛音列的重疊）。大多是人的聽(tīng)感都是這樣的，音樂(lè)才會(huì)這樣發(fā)展。勛伯格那套無(wú)調(diào)性音樂(lè)破壞了這里面的一些東西，所以覺(jué)得好聽(tīng)的人少；可是即使是這些

人也不會(huì)覺(jué)得把自然大調(diào)改成等差數(shù)列會(huì)好聽(tīng)。所以我們也許可以把Weber-Fechner定律當(dāng)作“音樂(lè)的心理屬性”的一條公理。從它出發(fā)，解釋純音程完全協(xié)和，大小三度、大小六度不完全協(xié)和之類(lèi)的都很舒服。

音類(lèi)圓周

首先我們用音類(lèi)這個(gè)等價(jià)類(lèi)。為什么用音類(lèi)這個(gè)八度等價(jià)類(lèi)合理，前面的Weber-Fechner定律已經(jīng)說(shuō)了。差了八度，從泛音列角度來(lái)看還是完全重合的。它的好處在于，音程和和弦轉(zhuǎn)位以后還不沒(méi)變。

我們注意到音類(lèi)圓周上的移調(diào)變換群和模12的同余類(lèi)群是同構(gòu)的：

所以干起事情來(lái)就很方便：移調(diào)，逆行，倒影等等。

接下來(lái)，傳統(tǒng)的三度疊置的和弦可以推廣到一個(gè)一般的n-和弦，它就是音類(lèi)圓周上任意一個(gè)多邊形。理論上來(lái)多去除了所有限制，所以簡(jiǎn)單了很多。

對(duì)于一個(gè)n-和弦，其距離向量用于刻畫(huà)包含的所有音程。比如全音程和弦的距離向量是(1,1,1,1,1,1)。

距離向量有兩個(gè)有趣的用途：

計(jì)數(shù)一個(gè)n-和弦通過(guò)移調(diào)變換能夠變出多少不同的和弦。
刻畫(huà)一個(gè)和弦的協(xié)和程度。

關(guān)于第一個(gè)問(wèn)題，顯然，它取決于這個(gè)和弦的對(duì)稱(chēng)性；對(duì)稱(chēng)性越高，數(shù)目越少。用距離向量可以直接看出穩(wěn)定化子，而根據(jù)

就可以求出軌道長(zhǎng)度，也就是不同的和弦個(gè)數(shù)。

關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題，我們把距離向量歸一化，然后按照加權(quán)平均計(jì)算平均不協(xié)和度：小二度為8，大二度為4，小三度、大三度為2，純四度為1，增四度為6。由此定義的加權(quán)平均可以刻畫(huà)和弦的不協(xié)和程度。

音網(wǎng)

音網(wǎng)有兩種對(duì)偶的表達(dá)，一個(gè)是音類(lèi)的音網(wǎng)，一個(gè)是三和弦的音網(wǎng)。我比較喜歡先構(gòu)建出前面那個(gè)，再做對(duì)偶。

接下來(lái)就是音類(lèi)的音網(wǎng)。它是五度圓周的推廣。學(xué)調(diào)式的時(shí)候會(huì)拿五度圓周出來(lái)輔助記憶，那時(shí)候給人的感覺(jué)像是一種巧合。但是在音網(wǎng)里面，這件事情的合理性就非常明顯了。

前面說(shuō)了，音網(wǎng)強(qiáng)調(diào)的是不同音類(lèi)之間的調(diào)性關(guān)系，具體來(lái)說(shuō)就是純五度（純四度）和大小三度（大小六度）。那很簡(jiǎn)單，我們把有這些關(guān)系的音類(lèi)連接起來(lái)，形成網(wǎng)狀就行了。先畫(huà)出五度關(guān)系，連成一個(gè)五度圓周。然后在五度圓周上每個(gè)點(diǎn)都按三度關(guān)系繞圈，就變成一個(gè)環(huán)。

當(dāng)然，在不是十二平均律的時(shí)候不能繞成圈。而且按照這種一層層的升降號(hào)寫(xiě)，在考察調(diào)式或者和弦的傳統(tǒng)寫(xiě)法時(shí)比較方便。畢竟寫(xiě)調(diào)號(hào)的時(shí)候還是要按規(guī)矩來(lái)。

在這個(gè)音網(wǎng)中，每個(gè)三角形都是一個(gè)三和弦。于是其對(duì)偶圖中，每個(gè)點(diǎn)都是三和弦。相鄰的三和弦之間的關(guān)系是新黎曼變換P、R、L。此時(shí)的圖形是六邊形的蜂巢狀網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)然音類(lèi)音網(wǎng)畫(huà)起來(lái)方便得多，也很容易轉(zhuǎn)化到對(duì)偶形式。

且不說(shuō)別的理論意義，音網(wǎng)對(duì)我來(lái)說(shuō)最直接的意義就在于把樂(lè)理全部直觀地幾何化了。具體來(lái)說(shuō)是以下四點(diǎn)：

音程
和弦
調(diào)式
和弦進(jìn)行

下面具體來(lái)分析。

首先是音程。

直接存在的三種音程關(guān)系是協(xié)和音程，平著是純五度，斜著是三度和六度，具體哪條小三度之類(lèi)的無(wú)所謂，看你怎么畫(huà)了。這三種是直接連接，代表是和諧的。如果無(wú)法直接相連，就代表著兩個(gè)音類(lèi)之間的調(diào)性關(guān)系不大，不和諧。比如綠色箭頭的小二度，要通過(guò)大三度和純五度兩次才能連起來(lái)，所以不是協(xié)和音程。

然后是和弦。

每個(gè)三角形都是一個(gè)協(xié)和的三和弦（大三和弦、小三和弦）。在這張圖里，朝下的是小三和弦，朝上的是大三和弦。相鄰三和弦之間的關(guān)系是新黎曼變換。具體還可以分析根音、三音、五音，這按照平著五度斜著3/6度很容易分析。

當(dāng)然還可以分析別的和弦。一個(gè)一般的n-和弦無(wú)非是音網(wǎng)上的一塊東西，這塊東西聚集地越密集，說(shuō)明越和諧。所以大三和弦和小三和弦是最和諧的。如果我們畫(huà)出無(wú)調(diào)性音樂(lè)中所謂的全音程和弦，會(huì)發(fā)現(xiàn)它就沒(méi)這么“聚集”，所以不和諧。算一算平均不協(xié)和度也可以說(shuō)明這一點(diǎn)。