【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-05含有字母系數(shù)的二元一次方程組的解法

2023-11-28 17:00 作者:山嵓 0人讀過(guò) | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第三章一次方程組?

§3-5含有字母系數(shù)的二元一次方程組的解法

【01】解含有字母系數(shù)的二元一次方程組的方法，和數(shù)字系數(shù)的二元一次方程組的解法一樣，可以采用代入消元法或者加減消元法。現(xiàn)在舉例來(lái)說(shuō)明。

例1.用代入法解關(guān)于 x 和 y 的方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dax-by%3Da%5E2%2Bb%5E2%2C%26(1)%5C%5Cx-y%3D2a%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad(a%5Cneq%20b).$

【解】

????????從(2)，得 y＝x－2a……(3)

????????代入(1)，得?

????????ax－b(x－2a）＝a2＋b2，

????????ax－bx＝a2＋b2－2ab，

????????(a－b)x＝(a－b)2? 。

????????因?yàn)?a ≠ b，a－b ≠ 0，兩邊都除以 a－b，得 x＝a－b? 。

????????以 x＝a－b 代入(3)，得 y＝－a－b? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3Da-b%2C%7D%5C%5C%7By%3D-a-b.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

【說(shuō)明】解字母系數(shù)的方程組時(shí)，必須注意題目中的條件。

例2.用加減法解關(guān)于 x 和 y 的方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7Dax%2Bby%3Da%2C%5C%5Cbx%2Bay%3Db%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D(1)%5C%5C(2)%5Cend%7Barray%7D%5Cquad(a%5Cneq0%2Cb%5Cneq0%2Ca%5E2%5Cneq%20b%5E2).$

【解】用加減法消去 y? 。.

????????(1)?× a：a2x＋aby＝a2……(3)

????????(2)?× b：b2x＋aby＝b2……(4)

????????(3)－(4)：(a2－b2)x＝a2－b2? 。

????????因?yàn)?a2 ≠ b2，a2－b2 ≠0，所以 x＝1? 。

????????以 x＝1 代入(1)，得 a＋by＝a，by＝0，∴ y＝0? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D1%2C%5C%5Cy%3D0.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

例3.解關(guān)于 x 和 y 的方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D(a-b)x%2B(a%2Bb)y%3D2(a%5E3-b%5E2)%2C%5C%5C(a%2Bb)x%2B(a-b)y%3D2(a%5E2%2Bb%5E2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D(1)%5C%5C(2)%5Cend%7Barray%7D%5Cquad(a%5Cneq%5Cpm%20b%2Cab%5Cneq0).$

【解】用加減法消去 y? 。

????????因?yàn)?a ≠ b，a－b ≠ 0，所以，可在(1)的兩邊都乘以a－b，得

????????(a－b)2x＋(a＋b)(a－b)y－2(a2－b2)(a－b)……(3)

????????因?yàn)?a ≠－b，a＋b ≠ 0，

????????所以，可在(2)的兩邊都乘以 (a＋b)，得

????????(a＋b)2x＋(a＋b)(a－b)y－2(a2＋b2)(a＋b)……(4)

????????(3)－(4)，得

????????[(a－b)2－(a＋b)2]x＝2(a2－b2)(a－b)－2(a2＋b2)(a＋b)，

????????－4abx＝－4a2b－4ab2，－4abx＝－4ab(a＋b)……(5)

????????因?yàn)?ab ≠ 0，所以可在(5)的兩邊都除以－4ab，得 x＝a＋b? 。

????????以 x＝a＋b 代入(1)，得

????????(a－b)(a＋b)＋(a＋b)y＝2(a2－b2)，

????????(a＋b)y＝a2－b2……(6)

????????(6)的兩邊都除以 a＋b，得? $%5Cscriptsize%20y%3D%5Cfrac%7Ba%5E2-b%5E2%7D%7Ba%2Bb%7D%3Da-b$ ? 。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Da%2Bb%2C%5C%5Cy%3Da-b.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 檢驗(yàn)從略。

習(xí)題3-5

解下列關(guān)于 x 和 y 的方程組(1~8)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.1.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%2By%3Da%2Bb%2C%5C%5C%265x-7y%3D5b-7a.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%263x%2By%3D2a%2Bb%5Ctext%7B%2C%7D%5C%5C%26x-3y%3D2b-a.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.3.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26bx%2Bay%3Dab%2C%5C%5C%26y-mx%3Db%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad(am%2Bb%5Cneq0).%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%20x2%2B%5Cdfrac%20y3%3D3a%2C%5C%5Cx-y%3Da.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.5.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26mx%2By%3D2m%2B1%5Ctext%7B%2C%7D%5C%5C%26x-my%3D2-m%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.6.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B2y%3D(m%2Bn)%5E2%2C%5C%5Cx-2y%3D(m-n)%5E2%2C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.7.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dmx-ny%3Da%2C%5C%5Cx-y%3Db%26%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad%7B(m%5Cneq%20n)%7D.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.8.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dax%2Bby%3D(a%2Bb)(a-b)%2C%5C%5Cbx-ay%3D2ab%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5Cquad(a%5E2%2Bb%5E2%5Cneq0).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.1.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Db%2C%5C%5Cy%3Da%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(a%2Bb)%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(a-b)%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.3.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D0%2C%5C%5Cy%3Db%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cleft.4%5Ccdot%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%3D4a%2C%5C%5C%26y%3D3a%3B%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D1%3B%5Cend%7Bcases%7D6.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dm%5E2%2Bn%5E2%2C%5C%5Cy%3Dmn%3B%5Cend%7Bcases%7D7.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7Ba-nb%7D%7Bm-n%7D%2C%5C%5C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7Ba-mb%7D%7Bm-n%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D8.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Da%2C%5C%5Cy%3D-b.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

標(biāo)簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-05含有字母系數(shù)的二元一次方程組的解法

習(xí)題3-5