2023年數(shù)學(xué)建模美賽備戰(zhàn)參考—插值與擬合 插值：求過已知有限個數(shù)據(jù)點(diǎn)的近似函數(shù)。?

擬合：已知有限個數(shù)據(jù)點(diǎn)，求近似函數(shù)，不要求過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求在某種意義下它在這些點(diǎn)上的總偏差最小。?

插值和擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。而面對一個實(shí)際問題，究竟應(yīng)該用插值還是擬合，有時容易確定，有時則并不明顯。?

基本的、常用的插值方法：拉格朗日多項(xiàng)式插值、牛頓插值、分段線性插值、Hermite插值和三次樣條插值。

許多工程技術(shù)中提出的計算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高要求，如飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，這就導(dǎo)致了樣條插值的產(chǎn)生。

所謂樣條（Spline）本來是工程設(shè)計中使用的一種繪圖工具，它是富有彈性的細(xì)木條或細(xì)金屬條。繪圖員利用它把一些已知點(diǎn)連接成一條光滑曲線（稱為樣條曲線），并使連接點(diǎn)處有連續(xù)的曲率。

實(shí)際中的許多問題，往往是既要求近似函數(shù)（曲線或曲面）有足夠的光滑性，又要求與實(shí)際函數(shù)有相同的凹凸性，一般插值函數(shù)和樣條函數(shù)都不具有這種性質(zhì)。如果對于一個特殊函數(shù)進(jìn)行磨光處理生成磨光函數(shù)（多項(xiàng)式），則用磨光函數(shù)構(gòu)造出樣條函數(shù)作為插值函數(shù)，既有足夠的光滑性，而且也具有較好的保凹凸性，因此磨光函數(shù)在一維插值（曲線）和二維插值（曲面）問題中有著廣泛的應(yīng)用。?

由積分理論可知，對于可積函數(shù)通過積分會提高函數(shù)的光滑度，因此，我們可以利用積分方法對函數(shù)進(jìn)行磨光處理。

最小二乘優(yōu)化是一類比較特殊的優(yōu)化問題，在處理這類問題時，Matlab也提供了一些強(qiáng)大的函數(shù)。在Matlab優(yōu)化工具箱中，用于求解最小二乘優(yōu)化問題的函數(shù)有：lsqlin、?

lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg。

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