我們在Ep37聊過，我們按照湯加鳳老師的說法，將收斂數(shù)列，即有有限極限的數(shù)列的性質(zhì)分為三大類——

1. 基本性質(zhì)——就是我們直接從數(shù)列極限定義可以推理出來的性質(zhì)；

2. 運(yùn)算性質(zhì)——我們意識到數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的運(yùn)算，既然每一個收斂數(shù)列對應(yīng)一個確定的數(shù)字，那么我們自然會想到數(shù)列能不能進(jìn)行實數(shù)的加減乘除等運(yùn)算；

   有沒有發(fā)現(xiàn)，仿佛收斂數(shù)列也可以定義實數(shù)？——沒錯，這就是柯西定義實數(shù)的思路，將極限相同的數(shù)列視為一類，然后每一類數(shù)列就與實數(shù)實現(xiàn)了一一對應(yīng)；

   所以，收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)，也可以看作是對實數(shù)這個定義合理性的驗證；

3. 存在性質(zhì)——又叫做數(shù)列收斂的判別法，就是判斷數(shù)列收斂的依據(jù)。

我們之前聊過了第1類，今天我們就先介紹第2、3類中最基本也最出名的內(nèi)容，明天就開始進(jìn)入收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)了。

關(guān)于第3類性質(zhì)中，在數(shù)列極限習(xí)題中用得最多最有名的一條定理被稱為——“夾逼準(zhǔn)則”或者“夾擊準(zhǔn)則”，某些東北985數(shù)分教材也把這個定理叫做“夾擠準(zhǔn)則”——Emmm，你們開心就好！

書上是先介紹了兩個關(guān)于“極限”的序的引理——

28對等式及不等式取極限

1.關(guān)于兩個各項相等的數(shù)列{an}，{bn}——

對數(shù)列{an}，{bn}，對任意n，都有an=bn，若an極限為a，bn極限為b，則a=b——

顯然，{an}，{bn}即為同一數(shù)列，有數(shù)列極限的唯一性，可得。

注意：其實只要存在一個N，當(dāng)n>N時，滿足an=bn，即可得到這兩個數(shù)列極限相等，我們只需要取cn=an+N，dn=bn+N，再結(jié)合上述性質(zhì)和數(shù)列極限的定義，即可證。

2.關(guān)于兩個數(shù)列各項都滿足某特定不等關(guān)系——

對數(shù)列{an}，{bn}，對任意n，都有an>=bn，若an極限為a，bn極限為b，則a>=b——

書上給出的證明用反證法——

1. 若b<a；

2. an極限為a，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N1，當(dāng)n>N1時，|an-a|<e，即a-e<an<a+e；

3. bn極限為b，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N2，當(dāng)n>N2時，|bn-b|<e，即b-e<bn<b+e；

4. 令N=max{N1，N2}，令e<（a-b）/2，由2、3，當(dāng)n>N時，bn<b+e<b+（a-b）/2=（a+b）/2=a-（a-b）/2<a-e<an，即bn<an；

5. 與條件中an>=bn矛盾，得證。

由此，得出了兩個推論——

1. 可以對不等號兩端的數(shù)列進(jìn)行極限運(yùn)算；

2. 同理可以對出對小于號也具有類似的性質(zhì)。

接著就引出了重要的“夾逼準(zhǔn)則”——

對于三個不同的數(shù)列{an}，{bn}，{cn}，對于任意n，都滿足an<=bn<=cn，如果an和cn的極限都是a，那么bn的極限也是a。

1. an極限為a，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N1，當(dāng)n>N1時，|an-a|<e，即a-e<an<a+e；

2. cn極限為a，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N2，當(dāng)n>N2時，|cn-a|<e，即a-e<cn<a+e；

3. 所以，令N=max{N1，N2}，當(dāng)n>N時，a-e<an<bn<cn<a+e，即|bn-a|<e；

4. 數(shù)列{bn}的極限也為a。

“夾逼原理”的一種特殊情況——

即把較大或者較小的那個數(shù)列變成常數(shù)列即可。

下一節(jié)，介紹了幾個關(guān)于無窮小的定理，也可以看作是“數(shù)列運(yùn)算性質(zhì)的引理”——

29關(guān)于無窮小的預(yù)備定理

首先給出了數(shù)列加法的定義——

數(shù)列加法——即對應(yīng)各項依次相加得出的和，作為和數(shù)列的該項。

類似的，也可以定義數(shù)列的乘法——即對應(yīng)各項依次相乘得出的積，作為積數(shù)列的該項。

為了得到收斂數(shù)列的運(yùn)算律，給出了兩個關(guān)于無窮小的引理——

1.有限個無窮小的和還是無窮小

我們給出M項無窮小的和的證明，我們記各個數(shù)列為{a1n}，{a2n}，……，{aMn}——

1. 數(shù)列{a1n}是無窮小，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N1，當(dāng)n>N1時，|a1n|<e/M；

2. 數(shù)列{a2n}是無窮小，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N2，當(dāng)n>N2時，|a2n|<e/M；

3. ……；

   ……

   數(shù)列{aMn}是無窮小，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)NM，當(dāng)n>NM時，|aMn|<e/M；

4. 令N=max{N1，N2，……，NM}，當(dāng)n>N時，即有|a1n+a2n+……+aMn|<=|a1n|+|a2n|+……+|aMn|<e，得證。

2.有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮小

這一條引理在后面定積分性質(zhì)里面很常用，由有界數(shù)列和收斂數(shù)列的定義即可導(dǎo)出——

1. 有界數(shù)列{xn}，即對任意n，存在M>0，|xn|<=M；

2. 無窮小{an}，即，對任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時，|an|<e/M；

3. 由1、2，對n>N，|xnan|<|xn||an|<M*（e/M）=e，得證。

明天我們就來聊運(yùn)算性質(zhì)！