“法弦”的最小值（2023新高考Ⅰ圓錐曲線）
2023-07-08 14:12 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
在直角坐標(biāo)系
中，點(diǎn)
到
軸的距離等于點(diǎn)
的距離，記動(dòng)點(diǎn)
.
（1）求
（2）已知矩形
有三個(gè)頂點(diǎn)在
.
解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
，由題可知：
，
化簡得：.
（2）不妨設(shè)、
、
在
上，設(shè)
的坐標(biāo)為
，
設(shè)直線、
的斜率分別為
、
，不妨設(shè)
，
且易知.
直線的方程為
，
與聯(lián)立得：
，
故，故
同理：.
所以：
令
其中
，
則
當(dāng)，
；
當(dāng)，
，
故.
令，
，
則.
令，得
，
當(dāng)，
，
；
當(dāng)，
，
，
故.
（此即圖中弦長度的最小值）.
故矩形的周長大于
.
此題中的不等式鏈：
.
之所以不能等于
是因?yàn)椋?/p>
、
都不能為
.
下個(gè)新定義：
我們把過拋物線上一點(diǎn)
，且與
處的切線垂直的弦
，叫做拋物線的法弦，并且一般地，法弦長
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.
