（圓錐曲線）斜率與齊次化

2022-08-21 11:17 作者:因戀相思久 0人讀過 | 我要投稿

已知橢圓 $C%EF%BC%9A%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7Ba%5E2%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D1%EF%BC%88a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%EF%BC%89$ 的短軸長為 $2%5Csqrt%7B2%7D%20$ ，離心率為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20$

（1）求橢圓方程 $C$

（2）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為 $F_%7B1%7D%20%EF%BC%8CF_%7B2%7D%20$ ，左右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)M，N，D位于橢圓互不相交的三點(diǎn)，其中M，D在x軸的上方，若直線MN過焦點(diǎn) $F_%7B1%7D%20$ ， $MN%E2%88%A5F_%7B2%7D%20D$ ，記AM，BD的斜率為 $k_%7B1%7D%EF%BC%8C%20k_%7B2%7D%20$ ，且滿足 $3k_%7B1%7D%2B2%20k_%7B2%7D%20%3D0$ ，求直線MN方程

（1）由題意得 $b%3D2%5Csqrt%7B2%7D%20$ ， $%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20$ ， $a%5E2%3D%20b%5E2%2B%20c%5E2$

聯(lián)立解得 $a%3D3%EF%BC%8Cc%3D1$

橢圓方程為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B9%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B8%7D%20%3D1$

（2）

當(dāng)直線MN存在時

$%E8%AE%BEM%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%8CN%EF%BC%88x_%7B2%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B2%7D%20%EF%BC%89%E7%9B%B4%E7%BA%BF%EF%BC%9An%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%2Bmy%3D1$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F_%7B1%7D%20N%E2%88%A5F_%7B2%7D%20D" alt="F_%7B1%7D%20N%E2%88%A5F_%7B2%7D%20D">

根據(jù)橢圓的對稱性知 $D%EF%BC%88-x_%7B2%7D%20%EF%BC%8C-y_%7B2%7D%20%EF%BC%89$

$%E6%89%80%E4%BB%A5k_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%7D%7B%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%2B3%EF%BC%89%7D%20$ ， $k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D%7D%7B%EF%BC%88x_%7B2%7D%2B3%EF%BC%89%20%7D%20$

下面進(jìn)行齊次化

$8x%5E2%20%20%2B9y%5E2%20%3D72$

$8%EF%BC%88x%2B3-3%EF%BC%89%5E2%20%20%2B9y%5E2%20%3D72$

$8%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5E2-48%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%20%20%2B9y%5E2%20%3D0$

$8%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5E2-48%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%2Bmy%5D%20%20%2B9y%5E2%20%3D0$

$-16%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89%5E2-48m%EF%BC%88x%2B3%EF%BC%89y%2B9y%5E2%20%3D0$

所以 $-16-48m%EF%BC%88%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B3%7D%20%EF%BC%89%2B9%EF%BC%88%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B3%7D%20%EF%BC%89%5E2%20%20%3D0$

$k_%7B1%7D%2B%20k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%20%7D%7B%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%2B3%EF%BC%89%7D%2B%20%5Cfrac%7By_%7B2%7D%20%7D%7B%EF%BC%88x_%7B2%7D%2B3%20%EF%BC%89%7D%20%3D%5Cfrac%7B16m%7D%7B3%7D%20%E2%91%A0$

$k_%7B1%7D%20k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%20%20y_%7B2%7D%20%7D%7B%EF%BC%88x_%7B1%7D%2B3%20%EF%BC%89%EF%BC%88x_%7B2%7D%20%2B3%EF%BC%89%7D%20%3D-%5Cfrac%7B16%7D%7B9%7D%20%E2%91%A1$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=3k_%7B1%7D%2B2%20k_%7B2%7D%20%3D0" alt="3k_%7B1%7D%2B2%20k_%7B2%7D%20%3D0">③

①③聯(lián)立得

$k_%7B1%7D%3D16m%20%EF%BC%8Ck_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B-32m%7D%7B3%7D%20$ ④

②④聯(lián)立得

$m%5E2%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B96%7D%20$

解得 $m_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20%20%EF%BC%8Cm_%7B2%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%20%7D%7B24%7D%20$

直線MN方程為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0%E6%88%96%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0$

當(dāng)斜率不存在時

此時 $M%EF%BC%88-1%EF%BC%8C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%EF%BC%89D%EF%BC%881%EF%BC%8C%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%EF%BC%89$

$3k_%7B1%7D%20%2B2k_%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B-1-%EF%BC%88-3%EF%BC%89%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%7D%7B1-3%7D%20%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cneq%200$

與題目條件矛盾

綜上，直線MN方程為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0%E6%88%96%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%EF%BC%88x%2B1%EF%BC%89-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%20%7D%7B24%7D%20y%3D0$

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