命題4.13：

可作一正五邊形的內(nèi)切圓

已知：正五邊形ABCDE

求：作正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓

解：

作CF平分∠BCD

（命題1.9）

作DF平分∠CDE，與CF交點(diǎn)記為點(diǎn)F

（命題1.9）

連接AF，BF，EF

（公設(shè)1.1）

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)K⊥CD，F(xiàn)L⊥DE，F(xiàn)M⊥AE

（命題1.12）

證：

∵BC=CD，∠BCF=∠DCF，CF公用

（已知）

∴△BCF≌△DCF，∠CBF=∠CDF，BF=DF

（命題1.4）

∵∠CDE=2∠CDF，∠CDE=∠ABC

（已知）

∴∠ABC=2∠CBF

（公理1.1）

同理可證，AF平分∠BAE，EF平分∠AED

∵∠ABC=∠BCD

（已知）

∴∠FBH=∠FCH

（公理1.1）

∵FH⊥BC

（已知）

∴∟CHF=∟BHF

（定義1.10）

∵CF公用

（已知）

∴△CFH≌△BFH，F(xiàn)H=FK

（命題1.26）

同理可證FG=FH=FK=FL=FM

∴以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)G,FH,FK,FL,FM任意一個(gè)為半徑作圓GHKLM經(jīng)過(guò)其余的點(diǎn)

（公設(shè)1.3＆定義1.15）

∵FG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)K⊥CD，F(xiàn)L⊥DE，F(xiàn)M⊥AE

（已知）

∴圓GHKLM切于正五邊形ABCDE的各個(gè)邊

（命題3.16）

∴圓GHKLM是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓

（定義4.5）

證畢

此命題的證明方法將在本卷后幾個(gè)命題中經(jīng)常被提到

PS：按照這一命題中的方法，可以作已知正n邊形的內(nèi)切圓

來(lái)都來(lái)了，點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄！