【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。??

第二章三角形——三角形和它的內(nèi)角和?

§2-2三角形的內(nèi)角和

【01】三角形的角也叫做三角形的內(nèi)角。三角形的三個內(nèi)角的和是幾度呢？

【02】我們用紙剪成一個任意三角形，把其中的兩個角剪下來拼到第三個角上去（圖2·7），可以看到，∠3 和 ∠1 的外邊幾乎是一直線，這樣我們就找到了命題：三角形的內(nèi)角和等于 2d? 。由此得出：

【03】三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于兩個直角（180°）。

【04】下面我們來證明這個定理。

【已知】△ABC（如圖2·8）。

【求證】 ∠A＋∠B＋∠ACB＝2d? 。

【分析】要證明三角形三內(nèi)角的和是 2d，我們可以根據(jù)上面拼角實驗的結(jié)果，把 BC 延長到 D，則 ∠ACB＋∠ACD＝2d? 。那么只要能夠證明 ∠ACD＝∠A＋∠B 就可以了。

【證】延長?△ABC 的一邊 BC 到 D，過 C 畫 CE//BA，根據(jù)平行線的性質(zhì)，有

????????∠B＝∠2（平行線的同位角相等），

????????∠A＝∠1（平行線的內(nèi)錯角相等）。

????????∴ ∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝2d? 。

【05】從定理的證明過程可知?∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B，立即可以推出另一條定理，就是：

【06】三角形的外角定理：三角形的一個外角等于兩個不相鄰的內(nèi)角之和。當(dāng)然大于它的任何一個不相鄰內(nèi)角。

【07】我們從三角形三內(nèi)角的和等于?2d，就可以推知三角形的三個內(nèi)角中，至多只能有一個直角或者一個鈍角。

【08】現(xiàn)在我們又可根據(jù)角的大小把三角形分類：

【09】三角形的三個角都是銳角的，叫做銳角三角形（圖2·9）。

【10】三角形中有一個直角的，叫做直角三角形（圖2·10）。

【11】三角形中有一個鈍角的，叫做鈍角三角形（圖2·11）。

【12】在直角三角形中，夾直角的兩邊都叫做直角邊，直角所對的邊叫做斜邊。

例1.直角三角形的兩個銳角的和是幾度？

【解】因為三角形三個內(nèi)角的和等于兩個直角，而直角三角形中除了兩個銳角外還有一個直角。從此可以算出兩個銳角的和等于一個直角。也就是直角三角形的兩個銳角互余。

例2.如圖2·12中，AB//CF，AD 與 BC 相交于 E，CDF 是直線，∠B＝45°，∠CED＝93°。求∠EDF。

【解】

????????已知 ∠EDF 是 △ECD 的外角，因此 ∠EDF＝∠CED＋∠C，

????????又因?AB//CF，

????????∴ ∠C＝∠B＝45°

????????由題設(shè)?∠CED＝93°，

????????∴ ∠EDF＝93°＋45°＝138°

????????答：∠EDF＝138°? 。

例3.如圖2·13，已知?∠BED＝∠B＋∠D? 。求證 AB//CD? 。

【分析】要證明 AB//CD，先可延長 BE 交 CD 于 F，只要能證得 ∠BFD 等于 ∠B 就可以了，而 ∠BED 是 △EPD 的外角，可知 ∠BED＝∠1＋∠D? 。從此可以證得 ∠1＝∠B? 。

【證】延長?BE?交 CD 于 F，則 ∠BED 是 △EFD 的外角，因此?∠BED＝∠1＋∠D（三角形的外角等于它的不相鄰兩內(nèi)角之和），

????????又 ∠BED＝∠B＋∠D（已知），

????????∴ ∠1＝∠B，

????????∴ AB//CD（內(nèi)錯角相等則兩線平行）

例4.如圖2·14中，ED⊥OA，EF⊥OB? 。求證 ∠O＝∠E? 。

【分析】已知 △PEF 和 △PDO 都是直角三角形，要證 ∠O＝∠E，只要能證得 ∠1＝∠2 就可以了，但它們是對頂角，故而相等。

【證】在直角 △PEF 中 ∠EFP＝90°，從三角形內(nèi)角和定理得 ∠E＋∠1＝90°，即 ∠E＝90°－∠1? 。

????????在直角?△PDO 中 ∠PDO＝90°，同理得?∠O＝90°－∠2? 。

????????但是?∠1＝∠2（對頂角相等），

????????∴ ∠O＝∠E? 。

例5.三角形的三個外角之和是幾度？

【已知】∠1，∠2 和 ∠3 是 △ABC 的三個外角（圖2·15）。

【求】∠1，∠2，∠3 的和。

【解1】因為 ∠1，∠2 和?∠3 是 △ABC 的外角，則有

????????∠1＋∠ABC＝2d，

????????∠2＋∠BCA＝2d，

????????∠3＋∠CAB＝2d? 。

????????三式相加，得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠ABC＋∠BCA＋∠CAB＝6d? 。

????????但是?∠ABC＋∠BCA＋∠CAB＝2d（三角形的三內(nèi)角之和）

????????∴ ∠1＋∠2＋∠3＋2d＝6d，

????????即?∠1＋∠2＋∠3＝4d? 。

【解2】

????????應(yīng)用外角等于它不相鄰兩內(nèi)角和性質(zhì)，得

????????∠1＝∠BAC＋∠ACB，

????????∠2＝∠BAC＋∠ABC，

????????∠3＝∠ABC＋∠ACB? 。

????????三式相加，得 ∠1＋∠2＋∠3＝2(∠BAC＋∠ACB＋∠ABC)，

????????因為 ∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝2d（三角形的三內(nèi)角之和）

????????∴ ∠1＋∠2＋∠3＝4d? 。

????????答：三角形的三個外角之和等于4d（360°）。

【注意】本例所說的三角形的三個外角的和，是指每一個頂角的一個外角，即?∠1，∠2 和 ∠3? 。以后稱三角形的外角和，就是指這祥的三個角的和。

習(xí)題2-2

1、已知 △ABC 中的 ∠A＝37°30'，∠B＝95°? 。求 ∠C? ?！?7°30′】

2、在 △ABC 中，已知 ∠A＋∠B＝74°18'，∠A－∠B＝23°42'? 。求 ∠A，∠B 和 ∠C? 。[提示：先從已知條件求出 ∠A 和 ∠B，再求 ∠C]【∠A＝49°，∠B＝25°18'，∠C＝105°42'】

3、在直角三角形中，已知它的一個銳角等于 25°，另一個銳角是幾度？一個銳角等于 30°呢？是 45° 呢？【65°，60°，45°】

4、如圖，∠B＝∠C＝45°，又 AE 是外角 DAC 的平分線。求 ∠1 和 ∠2 的度數(shù)。AE 和 BC 有什么關(guān)系？【∠1＝∠2＝45°，AE//BC】

5、在銳角三角形中，最小的銳角能大于 60° 嗎？能等于 60°嗎？【不能，能】

6、三角形的一個內(nèi)角正好等于其余兩個內(nèi)角之和，這是哪一種三角形？【直角三角形】

7、三角形的三個內(nèi)角度數(shù)的比是 2:3:4，這是哪一種三角形？[提示：先算出各角的度數(shù)，再定它是哪一種三角形]【銳角三角形】

8、如圖，求證 ∠1＋∠2＝∠3＋∠4? 。[提示：延長 AD 與 BC 使相交]

9、如圖，求證 ∠1－∠2＝∠3－∠4? 。[提示：∠1－∠2＝∠3－∠4 就是 ∠1＋∠4＝∠3＋∠2]

*10、如圖，已知 ∠1＝27°，∠2＝95°，∠3＝38°? 。求 ∠4? 。[提示：應(yīng)用三角形的外角定理]【∠4＝20°】

11、如圖，AE//BD，∠1＝95°，∠2＝28°? 。求 ∠C? 。【∠C＝67°】

12、三角形的三個外角中最多可有幾個鈍角？幾個直角？幾個銳角？[提示：應(yīng)該與三角形的內(nèi)角有幾個銳角、直角、鈍角聯(lián)系起來想]【3個，1個，1個】