[翻譯]錐線幾何(Geometry of Conics)第一章：二次曲線的諸基本性質(zhì)1.7(III)

2023-08-27 20:58 作者:瀰?夃 0人讀過 | 我要投稿

本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻譯：野呂侯奈因

僅供學(xué)習(xí)交流使用

譯者按：

? ? ? ?本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

本節(jié)中出現(xiàn)的解答均摘自本書第五章：習(xí)題解答．

習(xí)題5.?若有一點 $X$ 沿拋物線運動，而在 $X$ 處的法線（即與該點處切線垂直的直線）交拋物線的軸于點 $Y$ ，且有 $Z$ 為 $X$ 在軸上的投影．求證 $ZY$ 的長度不會發(fā)生改變．

（譯者注：當然，當 $X$ 取到拋物線的頂點時 $ZY$ 便不存在了．）

解答. 用 $X'$ 表示 $X$ 在拋物線的準線上的投影．注意到有 $FY%5C%7CXX'$ 及 $XY%5C%7C%20X'F$ （由兩線均垂直于 $X$ 處的切線）．故有 $XYFX'$ 為平行四邊形，從而有 $YZ%3DX'F'$ ，其中 $F'$ 為 $F$ 在 $XX'$ 上的投影．而線段 $X'F'$ 的長度卻是恒定的，其值正為拋物線的焦點到準線的距離（見圖5.2）．

習(xí)題6. 兩動點分別沿兩直線路徑勻速運動，求證這兩點連線總會與一條拋物線相切．（滿足兩條路徑不平行且兩點不在同一時刻經(jīng)過路徑交點）．

解答. 用 $X$ 和 $Y$ 來表示兩動點的位置，用 $A$ 表示兩路徑的交點．而 $AX$ 與 $AY$ 中垂線的交點則會沿一條直線 $l$ 運動（這是由于其在路徑上的投影以恒定速度運動）（譯者注：此處可用類似于向量加法的方式來理解）．同時， $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圓會經(jīng)過 $A$ 關(guān)于 $l$ 的對稱點 $A'$ ．考慮一條以 $A'$ 為焦點，以 $A'$ 關(guān)于 $AX$ 和 $AY$ 的對稱點連線為準線的拋物線，其內(nèi)切于 $%5Ctriangle%20AXY$ ．由于上述諸點皆為定點，故該拋物線也為定曲線且與 $XY$ 相切．

（譯者注：其直觀形式如圖p所示．）

習(xí)題7. 若有一拋物線內(nèi)切于 $%5Cangle%20PAQ$ ．試求拋物線上的一條切線與該角兩邊交點連線的中點軌跡．（譯者注：實際上，對于該線段的任意定比分點都能以類似的方法求出其軌跡．）

解答. 設(shè)該拋物線的切線分別交 $AP$ 和 $AQ$ 于點 $X$ 和 $Y$ ， $M$ 為 $XY$ 的中點．于是由定理1.10，就有 $%5Ctriangle%20AXY$ 的外接圓過拋物線的焦點 $F$ ．注意到 $%5Ctriangle%20XFY$ 中的所有角都不會隨切線的位置變化而變化（譯者注：由圓周角定理該結(jié)論是顯然的）．故有 $%5Cangle%20XMF$ 及 $%5Cfrac%7BFX%7D%7BFM%7D$ 均為定值．因此 $X$ 可經(jīng)由以 $F$ 為位似中心，以 $%5Cangle%20XMF$ 為旋轉(zhuǎn)角，以 $%5Cfrac%7BFX%7D%7BFM%7D$ 為位似比的旋轉(zhuǎn)位似變換對應(yīng)而來．于是 $M$ 也就會沿著 $AP$ 在相同位似變換下的對應(yīng)直線上運動．