上一回我們?yōu)榇蠹医榻B了歷史上第一個(gè)證明圓周率是無(wú)理數(shù)的方法，那是數(shù)學(xué)家蘭伯特使用的類(lèi)似于連分?jǐn)?shù)的方法。不過(guò)，由于這個(gè)證明方法過(guò)程比較冗長(zhǎng)，在上次的文章中，我們跳過(guò)了許多關(guān)鍵步驟，給小朋友的感覺(jué)是：這個(gè)證明類(lèi)似于把大象放進(jìn)冰箱里。

這一回，我們?cè)贋榇蠹医榻B一下歷史上最簡(jiǎn)潔的證明方法，那是1947年，數(shù)學(xué)家伊萬(wàn).尼云所給出的方法。這個(gè)證明在發(fā)表時(shí)，占用的篇幅不到一頁(yè)紙。

他的論文如下：

數(shù)學(xué)家們惜字如金，這篇論文對(duì)于普通的同學(xué)來(lái)講還是有一點(diǎn)困難。不過(guò)，理論上只要具有高二以上數(shù)學(xué)水平，學(xué)了微積分，就能夠理解這個(gè)證明。下面我就把這篇論文翻譯一下，一旦看懂了，你一定會(huì)贊嘆數(shù)學(xué)是如此美麗，就好像上一次我們講尺規(guī)作圖那樣。尺規(guī)作圖1、尺規(guī)作圖2

1??構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x)

假設(shè)圓周率π是一個(gè)有理數(shù)，則π一定能寫(xiě)成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)p、q的比：

構(gòu)造函數(shù)f(x)

大家看，這個(gè)函數(shù)分母是階乘形式，如果用二項(xiàng)式定理將分子展開(kāi)，一定能寫(xiě)成下面的多項(xiàng)式求和的形式：

也就是每一項(xiàng)的分子都是一個(gè)整系數(shù)的冪函數(shù)形式，而且這個(gè)冪次在n與2n之間。

2??對(duì)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

下面我們要對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)，為此我們首先復(fù)習(xí)一下冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，根據(jù)

我們可以得出：如果對(duì)冪函數(shù)求k次導(dǎo)數(shù)，有如下三種可能：

于是，對(duì)于函數(shù)f(x)的每一項(xiàng)，k次求導(dǎo)后的結(jié)果

大家看：對(duì)于第一類(lèi)項(xiàng)，這一項(xiàng)是0，是一個(gè)整數(shù)。對(duì)于第二類(lèi)項(xiàng)，由于m在n與2n之間，m!除以n！是個(gè)整數(shù)，因此這一類(lèi)項(xiàng)也是整數(shù)。對(duì)于第三類(lèi)項(xiàng)，如果取x=0, 則該項(xiàng)也會(huì)等于整數(shù)0.

綜上所述，f(x)的k階導(dǎo)數(shù)的每一項(xiàng)在x=0時(shí)都是整數(shù)，f(x)的k階導(dǎo)數(shù)在x=0時(shí)是個(gè)整數(shù)。

3? 函數(shù)f(x)是對(duì)稱的

我們?cè)倩氐阶畛鯓?gòu)造的函數(shù)，將變形

通過(guò)這個(gè)變換，我們顯而易見(jiàn)的發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)對(duì)稱的函數(shù)

我們對(duì)這個(gè)函數(shù)兩邊求k次導(dǎo)數(shù)

令x=π得到

即f(x)的k階導(dǎo)數(shù)在x=π處也取整數(shù)。

4??再構(gòu)造一個(gè)函數(shù)F(x)

再構(gòu)造一個(gè)函數(shù)

對(duì)這個(gè)函數(shù)求2次導(dǎo)數(shù)，得到

大家是否發(fā)現(xiàn)了：F(x)與F’’(x)許多項(xiàng)都是等大反號(hào)的，于是讓它們相加，得到：

大家注意：f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式的形式，最高只有x的2n次冪，所以對(duì)它求2n+2次導(dǎo)數(shù)，自然等于0，于是

5??求函數(shù)f(x)sin(x)的原函數(shù)

下面我們要求f(x)sin(x)的原函數(shù)，為了讓這個(gè)過(guò)程看起來(lái)容易一些，我們直接給出原函數(shù)F’(x)sin(x)-F(x)cos(x)，并進(jìn)行證明：

6??做一個(gè)定積分

我們求出了f(x)sin(x)的原函數(shù)，我們對(duì)這個(gè)函數(shù)在0到π之間進(jìn)行積分。

由于f(x)的任意階導(dǎo)數(shù)在0和π處都是整數(shù)（第二大點(diǎn)），而F(x)是它的線性組合（第四大點(diǎn)），所以F(0)和F(π)也是整數(shù)，因此A是一個(gè)整數(shù)。

7??對(duì)定積分放縮

根據(jù)我們構(gòu)造函數(shù)的特點(diǎn)：

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：在0<x<π時(shí)，f(x)>0,同時(shí)sin(x)>0，因此f(x)sin(x)>0，所以

我們?cè)賹?duì)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮，在0<x<π時(shí)

因此

當(dāng)n充分大的時(shí)候，上式右側(cè)小于1，于是有A<1。綜上，0<A<1

8??反證法

假設(shè)π是個(gè)有理數(shù)，我們得到了（六）中A是一個(gè)整數(shù)，（七）中A在0到1之間?？墒?，0到1之間沒(méi)有整數(shù)，發(fā)生矛盾，因此π不是有理數(shù)，π是無(wú)理數(shù)。

一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，卻需要如此奇妙的方法進(jìn)行證明，數(shù)學(xué)真是神奇。

美提課堂 美提課堂致力于打造中學(xué)理科（數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物）精品課程，致力于讓優(yōu)秀的課程服務(wù)更多的學(xué)生，所有老師均畢業(yè)于北大、清華、北師大等著名學(xué)府，并擁有國(guó)內(nèi)一流中學(xué)十年以上教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。目前，網(wǎng)校已經(jīng)累計(jì)開(kāi)設(shè)直播課、專題課、公開(kāi)課、講座等數(shù)千小時(shí)。只需一次點(diǎn)擊，讓你和名師0距離。美提課堂2020年秋季直播課已經(jīng)開(kāi)始啦！快訪問(wèn)下面的網(wǎng)址看看有沒(méi)有適合你的課程。????

網(wǎng)校網(wǎng)址：www.mtketang.com?

客服小姐姐微信：mtketang0007?

客服電話：400 155 2135