今天聊高數(shù)里最后一種可以降階的高階線性微分方程題型，接著聊繼續(xù)聊經(jīng)濟(jì)學(xué)中“彈性”的內(nèi)容，最后聊一下曼昆的第九條原理。

開(kāi)始學(xué)習(xí)——

part 1 同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

今天我們聊第三種可降階為一階線性微分方程的高階線性微分方程——形如y''=f（y，y'）的微分方程。

解法——

1. 令y'=p；

2. 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=y'（dp/dy）=p（dp/dy）；

3. 將y'，y"代入原式，p（dp/dy）=f（y，p）——關(guān)于y、p的一階線性微分方程；

4. 按照一階線性微分方程解即可。

例子，解方程yy"-y'^2=0——

1. 令y'=p；

2. 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=y'（dp/dy）=p（dp/dy）；

3. 將y'，y"代入原式，yp（dp/dy）-p^2=0，即yp（dp/dy）=p^2，則y（dp/dy）=p；

4. 由3，dp/p=dy/y，兩邊積分，ln |p|=ln |y|+C=ln?e^C|y|；?

5. 由4，p=C1y——C1=e^C或-e^C，即y'=C1y，dy/dx==C1y；

6. 由5，dy/y=C1dx，兩邊積分，（ln |y|）=C1x+C'2，y=C2e^（C1x）——C2=e^C'2或-e^C'2。

part 2.1?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第二章第五節(jié)：彈性——

第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來(lái)說(shuō)，只要兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來(lái)表示因變量對(duì)自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動(dòng)比例/自變量的變動(dòng)比例。

弧彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動(dòng)值。

點(diǎn)彈性公式——ΔX趨于0時(shí)，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

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我們之前聊過(guò)了需求的價(jià)格彈性，而影響價(jià)格的因素不止需求一個(gè)，今天我們來(lái)聊其他因素的價(jià)格彈性——

供給的價(jià)格彈性含義——表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的供給量變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度；或者說(shuō)，它表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的價(jià)格變化百分之一時(shí)所引起的該商品的供給量變化的百分比。

供給的價(jià)格彈性公式——供給的價(jià)格彈性系數(shù)=供給量變動(dòng)率/價(jià)格變動(dòng)率。

供給的價(jià)格彈性分類(lèi)——

A.弧彈性——供給的價(jià)格弧彈性表示某商品供給曲線上兩點(diǎn)之間的供給量的變動(dòng)對(duì)于價(jià)格的變動(dòng)的反應(yīng)程度；簡(jiǎn)單地說(shuō)，它表示供給曲線上兩點(diǎn)之間的彈性。

弧彈性公式——es=（ΔQ/Q）/（ΔP/P）=（ΔQ/ΔP）*（P/Q）——供給函數(shù)Q=f（P），ΔQ與ΔP分別表示供給量的變動(dòng)量和價(jià)格的變動(dòng)量，es表示供給的價(jià)格彈性系數(shù)——通常情況下，商品的供給量和價(jià)格是呈同方向變動(dòng)的，即ΔQ/ΔP為正值，es>0。

B.點(diǎn)彈性——當(dāng)供給曲線上兩點(diǎn)之間的變化量趨于無(wú)窮小時(shí)，供給的價(jià)格彈性要用點(diǎn)彈性來(lái)表示；也就是說(shuō)，它表示供給曲線上某一點(diǎn)的供給量變動(dòng)對(duì)于價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。

點(diǎn)彈性公式——ΔP趨于0時(shí)，es=lim[（ΔQ/Q）/（ΔP/P）]=（dQ/dP）*（P/Q），dQ/dP為正值，es>0。

C.弧彈性和點(diǎn)彈性的關(guān)系——本質(zhì)上是相同的；區(qū)別僅在于：前者表示供給求曲線上兩點(diǎn)之間價(jià)格變動(dòng)時(shí)的彈性，后者表示供給曲線的某一點(diǎn)上價(jià)格變動(dòng)量無(wú)窮小時(shí)的彈性。

part 2.2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——曼昆

我們來(lái)逐一介紹曼昆《經(jīng)濟(jì)學(xué)原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟(jì)學(xué)的十條原理第九條：

prices rise when the government prints too much money政府印太多鈔票，物價(jià)會(huì)上升——

1. 歷史上最令人震驚的通脹之一：德國(guó)報(bào)紙1921年1月，日?qǐng)?bào)價(jià)格0.3馬克，1922年11月，一份日?qǐng)?bào)價(jià)格7000 0000馬克；

2. 美國(guó)1970年物價(jià)翻一倍；

3. 什么導(dǎo)致了通貨膨脹？——元兇是貨幣的數(shù)量，一個(gè)國(guó)家的貨幣增加，則貨幣的價(jià)值下降，而商品的價(jià)值是相對(duì)穩(wěn)定的，那么商品等值的貨幣量自然隨之上升，也就是所謂的漲價(jià)。

明天繼續(xù)！