題目:如圖1,在銳角△ABC中,AB>AC,M是△ABC外接圓Ω的劣弧BC的中點,K是∠BAC的外角平分線與BC延長線的交點.在過點A且垂直于BC的直線上取一點D(異于點A),使得DM=AM.設△ADK的外接圓與圓Ω相交于點A及另一點T.

求證:AT平分線段BC

(請讀者先去了解一下蒙日定理再來看解答)

思考過程:設AT與BC交點為G,通過長度直接去證明BG=CG比較困難.

既然G是后產(chǎn)生的點,我們知道的關于G的性質少,不如通過一步轉換避開直接研究G.

題目中已經(jīng)給出了兩個圓,我們可以再找第三個圓,證明L是這三個圓的根心,利用蒙日定理轉化.

根據(jù)結論可以知道L是中點,因此我們來找一條過BC中點的根軸.

反向延長KA交圓Ω于N,連接NM.(如圖2)

由外角平分線性質知N是優(yōu)弧BC的中點,那么MN過BC中點且垂直于BC.

接下來我們要找一個圓,使得它與其余兩圓的根軸分別為MN,BK.

觀察猜想M,P,N,K四點共圓.(如圖3)

觀察猜想P,M,D共線,證明這個結論有利于倒角,先來證明它.

由于M是劣弧BC的中點,AM是∠BAC的內(nèi)角平分線,而AK是∠BAC的外角平分線

易知∠MAK=90°?

結合AD垂直于BK,AM=DM,可以推出:

∠AKP=∠MAD=∠MDA.

∠PDA=∠PKA.

那么∠MDA=∠PDA,共線得證.

由MN垂直于BK,MN平行于AD.

則∠PMN=∠PDA=∠PKA,P,N,K,M四點共圓得證.(如圖4)

由蒙日定理,MN,PK,AT三線共點,L是BC中點,因此AT平分BC.

下面給出證明過程.

證明:反向延長KA交圓Ω于N,連接NM,設NM交BK于點L,連接PM.記△AKD外接圓為Ω1

∵M是劣弧BC的中點

∴AM是∠BAC的內(nèi)角平分線

又∵AK是∠BAC的外角平分線

∴∠MAC=90°

即∠MAD+∠BAK=90°

∵AD垂直于BK

∴∠DAK+∠AKB=90°

又∵AM=DM

∴∠AKP=∠MAD=∠MDA

∵A,P,D,K四點共圓

∴∠PDA=∠PKA

∴∠MDA=∠PDA

即P,M,D三點共線

∵AK是∠BAC外角平分線

∴N是優(yōu)弧BC中點

又∵M是劣弧BC中點

∴MN垂直平分BC

∴MN平行于AD

∴∠PMN=∠PDA=∠PKA

∴M,P,N,K四點共圓(外接圓記為Ω2)

∵MN,AT,BC分別為Ω與Ω2的根軸,Ω與Ω1的根軸,Ω1與Ω2的根軸

由蒙日定理,MN,AT,BC三線共點

∵MN平分BC

∴AT平分BC

幾何圖像網(wǎng)址:https://www.desmos.com/geometry-beta/ubbnbi1rnp?lang=zh-CN

制作不易,喜歡的話還請點贊支持一下~

有什么更好的解法或者好的題目可以評論或私信我